M2 Modélisation et Simulation en Mécanique des Structures et Systèmes Couplés

Didier CLOUTEAU – PU - CS Filippo GATTI – MCF - CS.

1 examen écrit (50%) et un projet/Hackaton (50%).

A l'issue de ce cours les étudiants connaîtront les éléments essentiels pour la prise en compte et la modélisation des incertitudes de données et des modèles en mécanique, ainsi que les fondements des méthodes d’apprentissage machine. A l’issue de la formation ils devront être capables de mettre en place certaines de ces techniques sur des données expérimentales et des modèles de mécanique des structures et des matériaux.
La structure du cours est la suivante :
- Rappel des bases de la théorie des probabilités : variables aléatoires, entropie de l’information, estimation, analyse statistique, champs stochastiques (3 séances)
- Introduction à l’apprentissage machine : apprentissage supervisé pour la classification et la régression, approche déterministe et probabiliste, minimisation de l’erreur empirique, gradient stochastique, théorème d’approximation universelle, réseaux de neurones à deux couches, réseaux profonds et réseaux convolutifs, Apprentissage non-supervisé et semi-supervisé, auto-encoders, réseaux génératifs adverses (GAN) (3 séances)
- Outils de modélisation probabiliste et méthodes de propagation des incertitudes, Karhunen-Loeve, Chaos polynomial, simulation de Monte-Carlo (2 séances)
- Projet d’apprentissage statistique appliqué à des problèmes de mécanique des structures et des matériaux sous forme d’un Hackaton (4 séances).

Notions de MMC, des structures et des probabilité.

Y. Goodfellow, Deep learning, MIT Press, 2016. E. T. Jaynes. Probability theory : the logic of science. Cambridge University Press, 2003 P. Krée and C. Soize. Mécanique aléatoire : vibrations non linéaires, turbulences, séismes, houle, fatigue. Dunod, 1983 G. Saporta. Probabilités, analyse des données et statistique. Editions Technip, 1990.

Novembre - Décembre - Janvier - Février.

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Allix Olivier.

Les cours sont illustrés par des exemples simples. Les travaux pratique concerne la mise en œuvre des techniques d’intégration temporelles directes sur des structures simples.

Ce cours est d'abord consacré aux deux familles les plus usitées pour traiter des problèmes de dynamique : la sous-structuration dynamique ingrédient indispensable des approches des systèmes complexes par synthèse modale et le calcul direct par intégration temporelle. Le problème important du recalage de modèle complexe est abordé.

Chapitre 1 : Indications sur le traitement numérique temporel direct
Problème de dynamique de structure : réduction à des problèmes à un ddl et conséquences
Généralités mathématiques sur les méthodes d’intégration : convergence, consistance, stabilité
Systèmes du second ordre : exemple des méthodes de Newmark
Chapitre 2 : Méthodes de sous-structuration dynamique
Condensation Sous-structuration dynamique : Méthode de Guyan de Craig et Bampton et de Mac-Neal
Estimation d’erreurs associées
Chapitre 3 : Amélioration des modèles de dynamique vibratoires: recalage
Le recalage : un problème inverse particulier
La méthode de l'erreur en relation de comportement modifiée en dynamique vibratoire.

Mécanique des milieux continus Méthode des Eléments Finis.

M. Géradin, D. Rixen, Mechanical Vibrations: Theory and Application to Structural Dynamics; Wiley 1997 Belytscko, T., and Hughes, T.J.R., Computational Methods for Transient analysis, North-Holland, 1983.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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Hachmi Ben Dhia.

Le déroulement du cours suit le plan donné plus haut, en insérant des temps de travauxl personnels des élèves allant de TD-classiques (mise en oeuvre) aux réflexions sur les gaps entre la réalité des applications industrielles et la présentation académique du cours, en passant par des sollicitations d'interactivité avec les éléments donnés en cours.

Rappels et consolidation d'Eléments de modélisations du comportement mécanique des solides sous chargements.
Formes fortes des équations régissant le problème-Conditions initiales et Conditions aux limites.
Quelques méthodes analytiques - Limites, mais intérêts pratiques récents.
Formulations faibles primales-Problèmes associés et non associés.
Formulations mixtes. Intérêts et comparaison avec les formulations primales.
Consolidations : Cadres fonctionnels et différents Traitements des conditions aux limites cinématiques. Méthode de Lagrange.
Approximations conformes en espace : méthodes de Ritz-Galerkin. Formalisation de la Méthode des Eléments Finis et constructions d'éléments finis hypo et iso-paramétriques. Difficultés de construction d'EF mixtes.
Aspects techniques de la méthode (intégration numérique, assemblage)
Estimations des erreurs a priori et éléments d'approximations a posteriori.
Extensions/généralisation des éléments finis classiques : Méthode de Partition de l'Unité (PUM) (X_Fem, G_Fem), Méthodes Locales-Globales.
Méthodes multi-modèles et multi-échelles: cadre Arlequin: Formulation, Analyse et application à des cas pratiques.

Eléments de base de la Mécanique des Milieux Continus Eléments d'algèbre linéaire Eléments d'analyse : Calcul différentiel, Calcul intégral, espaces de Hilbert. Projection. Formulations variationnelles Notions sur les méthodes d'approximation : Eléments Finis et Différences Finies.

[1] Ouvrages généraux de MMC (P. Germain, Salençon, Gurtin, ...), [2] Polycopiés de cours MMC niveau L3/M1 de Mécanique [3] Y.C. Fung & Pin Tong, Classical and Computational Solid Mechanics, Advanced Series in Engineering Science [4] H. Ben Dhia, Poly Cours MNS, Option de 3ème année, Centrale Paris (CentraleSupélec). [5] H. Ben Dhia, Notes de Cours OAE-M2, 2019 [6] H. Ben Dhia, Multiscale mechanical problems: the Arlequin method, CRAS, 1998 [7] H. Ben Dhia, G. Rateau, Analyse mathématique de la méthode Arlequin mixte, CRAS, 2001 [8] H. Ben Dhia, G. Rateau, The Arlequin method as a flexible

Septembre - Octobre - Novembre.

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Barbarulo Andrea.

1) Systèmes à un degré de liberté et introduction des outils de base 2) Rappels de mécanique des milieux continus et solutions analytiques 3) Principe des puissances virtuelles et introduction à l'analyse modale 4) Référentiels tournants 4) Méthode de Galerkin et réduction modale 5) Méthode des éléments finis en dynamique 6) WFEM et SAFE 7) BEM et méthodes de Trefftz 8) Couplage Vibro-Acoustique

Chaque séance se compose d'une partie théorique et de TD/TP. L'évaluation prendra la forme de la soutenance d'un projet renforcée par des questions de théorie sur le cours.

Dans le domaine des phénomènes dynamiques, les vibrations périodiques dans un milieu borné sont d'une importance primordiale, les vibrations se produisant dans une structure pouvant sérieusement compromettre sa tenue mécanique. Ces phénomènes se rencontrent également dans la génération et la propagation de bruit.
Dans ce cours seront présentées les bases de la dynamique vibratoire, les méthodes de résolution éléments finis, une introduction à l'analyse modale, les méthodes en moyennes fréquences, et une ouverture sur des applications avancées.

Notions de base sur l'algèbre linéaire, sur les équations aux dérivées partielles et leur résolution, sur la méthode des éléments finis, et sur la mécanique des milieux continus.

Dynamics of Structures - J.H. Argyris Structure-Borne Sound - Cremer, L., Heckl Wave Motion in Elastic Solids K. F. Graff Éléments finis: théorie, applications, mise en oeuvre - A. Ern The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J.Z. Zhu Mid-Frequency-CAE Methodologies for Mid-Frequency Analysis in Vibration and Acoustics P Ladeveze, A Barbarulo, H Riou, L Kovalevsky - 2012 - Leuven University Press, Leuven.

Octobre - Novembre - Décembre.

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Le cours présente d’abord les techniques classiques d’estimation d’erreur (basées sur les résidus d’équilibre, les techniques de lissage, ou l’erreur en relation de comportement) et d’adaptation de maillage dans le cadre de la méthode des éléments finis. Des extensions au contrôle de quantités d’intérêt (via la technique de l’adjoint) et aux problèmes non-linéaires (à partir d’arguments de dualité) sont faites. Ensuite, le contrôle de l’erreur de modèle est abordé pour les approches multiéchelles et de réduction de modèle (PGD, bases réduites). Enfin, la sélection des modèles en cohérence avec les données expérimentales est traité. Des développements récents de recherche sont montrés tout au long du cours et une sensibilisation aux challenges scientifiques actuels dans la thématique est apportée. Le cours est accompagné d’un projet numérique durant lequel les étudiants mettent en œuvre et analysent certaines méthodes de contrôle et d’adaptation pour en mesurer leurs performances.

La modélisation et la simulation numérique sont au coeur des activités modernes en recherche et ingénierie. De ce fait, et pour assurer la fiabilité des résultats de simulation, la maîtrise des modèles et des calculs est une problématique fondamentale. L’objectif est de calculer juste au juste coût. Le cours vise à présenter les concepts de base utilisés pour atteindre cet objectif, ainsi que leur mise en œuvre pratique.
Les outils d’estimation d’erreur de discrétisation et d’adaptation de maillage dans le cadre de la méthode des éléments finis apparaissent comme précurseurs pour la vérification des modèles numériques. Cependant, la thématique englobe à présent un spectre beaucoup plus large d’outils impactant toute la chaine de modélisation. On peut citer par exemple la modélisation multi-fidélité, avec contrôle de l’erreur du modèle mathématique dans les techniques de réduction de modèle et de couplage multiéchelle par exemple, ou la modélisation pertinente en lien avec la richesse de l’information expérimentale (quantité et niveau de bruit des mesures) dans la résolution de problèmes inverses et l’assimilation de données. Toutes ces composantes sont abordées dans le cours.

Mécanique des milieux continus, méthodes des éléments finis, analyse fonctionnelle, notions de programmation.

[1] I. Babuska, T. Strouboulis. The finite element method and its reliability, Oxford university press, 2001. [2] E. Stein. Error controlled Adaptive Finite Elements in Solid Mechanics, J. Wiley, 2003. [3] P. Ladevèze, J.P. Pelle. Mastering Calculations in Linear and Nonlinear Mechanics, Springer NY, 2004. [4] L. Chamoin, P. Diez (ed). Verifying calculations, forty years on: an overview of classical verification techniques for FEM simulations, SpringerBriefs, 2016. ? [5] J.T. Oden, S. Prudhomme. Estimation of modeling error in Computational Mechanics, Journal of Computational Physics, 2002.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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Daghia Federica.

Des séances de cours magistral, ponctués de petits exercices pour clarifier le contenu, constituent la partie principale du cours. Une séance de Bureau d’Études, qui compte pour la moitié de la note finale du module, permettra de mettre en oeuvre sur ordinateur les notions apprises notamment sur la partie “modélisation des plaques stratifiées”. Une séance de Travaux Pratiques permettra de manipuler les matériaux composites à travers une mise en oeuvre simple et une inspection par ultrasons. L’évaluation finale repose sur la note de BE (par moitié) ainsi que sur un oral portant sur la totalité du cours.

Le cours est axé sur la modélisation et le calcul des structures composites à base de fibres longues et matrice polymère, et particulièrement des composites stratifiés. L’accent est mis sur les questions d’échelle, tant du point de vue de la structure (calcul de structures minces type “plaques” ou “coques” et effets de bord) que du point de vue du matériau (méthodes d’homogénéisation, modèles d’endommagement). Les outils de la mécanique de l’endommagement et de la rupture sont présentés pour des matériaux anisotropes présentant des multiples mécanismes de dégradation élémentaires. Les tendances et problématiques actuelles en modélisation et calcul à rupture sont discutées : localisation de l’endommagement, difficultés et remèdes, stratégies de simulation.
Plan :
Chapitre 1 - Méthodes d’homogénéisation
Chapitre 2 - Théories des plaques stratifiées
Chapitre 3 - Les mécanismes de dégradation dans les composites
Chapitre 4 - Notions de thermodynamique
Chapitre 5 - Le mésomodèle pour les composites stratifiés
Chapitre 6 - Synergie micro-méso.

Mécanique des milieux continus, formulations variationnelles.

Lemaître, Chaboche, Benallal, Desmorat, “Mécanique des matériaux solides”, Dunod 2009. Reddy, “Mechanics of laminated composite plates and shells”, CRC Press 2004.

Septembre - Octobre - Novembre.

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Guillaume Puel.

1) Problèmes mal posés associés à la confrontation expérience-modèle 2) Diversité des formulations possibles 3) Aspects numériques (avec mise en pratique numérique) 4) Régularisation 5) Mesures de champs (avec mise en pratique numérique et expérimentale) Les élèves sont évalués sur la base du travail sur un miniprojet.

Le cours a pour buts la définition et la résolution (théorique et numérique) des problèmes inverses,
que l’on rencontre, par exemple, lorsque l’on cherche à identifier les paramètres d’un modèle vis-à-vis
d’une référence expérimentale ; il s’attache ainsi à présenter la diversité des méthodes utilisées au sein
de la communauté scientifique concernée. Le cours évoque également toutes les méthodes liées aux
techniques expérimentales récentes d’acquisition («mesures de champs»), pour lesquelles la richesse
de l’information mesurée permet d’envisager des méthodes d’identification spécifiques.

Notions de base sur l'algèbre linéaire, sur les équations aux dérivées partielles et leur résolution, sur la méthode des éléments finis, et sur la mécanique des milieux continus.

[1] H. D. Bui, Introduction aux problèmes inverses en mécanique des matériaux, Eyrolles, 1993. [2] C.R. Vogel, Computational methods for inverse problems, SIAM, 2002. [3] A. Tarantola, Inverse problem theory and methods for parameter model estimation, SIAM, 2005. [4] J. Kaipio & E. Somersalo, Statistical and computational inverse problems, Springer, 2005. [5] (collectif) Mesures de champs et identification en mécanique des solides, Hermès, 2011. [6] S. Andrieux, Recalage, identification, suivi en service des structures, Presse des Ponts, 2016.

Novembre - Décembre - Janvier.

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Bing Tie.

La première partie de l'UE est consacrée à l'étude des principaux concepts utilisés pour décrire et analyser les phénomènes de propagation d'ondes dans les solides : les ondes planes dans un solide isotrope; les notions telles que la dispersion spatiale et temporelle et la vitesse de groupe; les phénomènes de réfraction, de réflexion et de conversion entre différents types d'ondes à l'interface de deux solides; l’onde de Rayleigh. Les outils d’analyse introduits sont appliqués aussi à la propagation des ondes élastiques dans des milieux anisotropes et dans des plaques minces. La deuxième partie, avec à la fois des cours théoriques et TD-numérique, introduit les méthodes d'éléments finis et de différences finies pour la discrétisation spatio-temporelle des ondes : des schémas classiques d'intégration en temps par différences finies aux méthodes numériques dont l'application est plus récente en mécanique numérique du solide, comme les schémas espace-temps ou la méthode de Galerkin discontinue.

Les ondes jouent un rôle important dans l’ingénierie des structures. Ainsi, la compréhension des ondes sismiques est essentielle pour le dimensionnement d’ouvrages dans des zones à risque ; la maîtrise des ondes de choc initiées par des découpes pyrotechniques dans des lanceurs spatiaux est impérative pour la sécurité des charges utiles et équipements électroniques embarqués ; une modélisation pertinente des interactions entre les ondes ultrasonores et la microstructure des matériaux permet de rendre plus efficace le contrôle non destructif, largement utilisé pour des structures aéronautiques ou nucléaires.
Ce cours a un double objectif : d’une part, présenter les principaux phénomènes de propagation d’ondes élastiques dans les solides, et d’autre part, introduire les concepts de base pour leur simulation numérique. Les notions présentées ici dans le contexte particulièrement riche et complexe des ondes élastiques consolideront et complèteront la formation des étudiants dans le domaine des ondes en général et dans celui de la dynamique des structures. Enfin, en intégrant des séances de TD-numérique, les phénomènes de propagation d'ondes décrits dans la partie théorique du cours peuvent être calculés, observés et analysés et les outils numériques peuvent être manipulés pour des exemples concrets.

Mécanique des Milieux Continus, notions de base sur les ondes, introduction aux méthodes de différences finies et d'éléments finis.

-) J.D. Achenbach, Wave propagation in elastic solids, North Holland, Amsterdam. -) D. Royer et E. Dieulesaint, Ondes élastiques dans les solides, Tome 1, Masson. -) Joseph L. Rose, Ultrasonic Waves in Solid Media, Cambridge University Press -) Thomas J.

Novembre - Décembre - Janvier - Février.

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Néron David.

Ce cours abordera quelques-unes des techniques de réduction d’ordre les plus populaires actuellement, ainsi que les algorithmes classiques associés à ces stratégies. En particulier, on s’intéressera à la réduction de données en linéaire et non linéaire (PCA, kernel PCA…). On introduira ensuite les méthodes de résolution d'EDPs basées sur la Proper Orthogonal Decomposition (POD), les Reduced-Bases (RB) et la Proper Generalized Decomposition (PGD). On développera l’utilisation de ces méthodes de résolution dans le cadre linéaire et non linéaire.

Le cours sera accompagné d’un projet numérique durant lequel les étudiants mettrons en œuvre et coderont certaines de méthodes de réduction de modèles vues en cours afin de d’examiner et de comparer leurs performances dans quelques situations modèles.

La simulation numérique et, plus récemment, les données massives prennent une place essentielle dans de nombreux domaines scientifiques. Cependant, les modèles haute fidélité que souhaitent manipuler les ingénieurs et les chercheurs restent souvent hors de portée des moyens de calcul actuels (très grand nombre de degrés de liberté et de paramètres, non linéarités, nécessité d’une réponse en temps réel…). La réduction de modèles et celle des données sont devenues en quelques années des outils indispensables pour développer des méthodes de calcul hautes performances originales et/ou analyser des données massives, qu’elles soient issues de simulations ou d’expériences. L’objectif de ce cours est de présenter les concepts de base des techniques de réduction d’ordre ainsi que leur mise en œuvre pratique.

Mécanique des milieux continus, méthodes des éléments finis, analyse fonctionnelle, algèbre linéaire, analyse mathématique des EDPs, notions de programmation.

[1] Separated Representations and PGD-Based Model Reduction: Fundamentals and Applications. CISM International Centre for Mechanical Sciences, F. Chinesta, P. Ladevèze (Eds.), Vol. 554, 2014. [2] A.T. Patera and G. Rozza, Reduced Basis Approximation and a Posteriori Error Estimation for Parametrized Partial Differential Equations, Version 1.0, Copyright MIT 2006, to appear in (tentative rubric) MIT Pappalardo Graduate Monographs in Mechanical Engineering. [3] S. Volkwein, Proper Orthogonal Decomposition : Theory and Reduced-Order Modelling, Lecture Notes 2013, University of Konstanz

Septembre - Octobre.

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Pierre-Alain Guidault.

Le cours est accompagné d’un projet numérique durant lequel les étudiants mettrons en œuvre et coderont certaines des méthodes de décomposition de domaine vues en cours afin d’examiner et de comparer leurs performances sur un cas académique.

Dans ce cours sont présentées les stratégies de calcul multiéchelles par méthodes de décomposition de domaine (DDM) sans recouvrement. Les approches primales, duales et mixtes sont présentées dans le cadre de la mécanique des structures en élasticité linéaire. Les formulations continue et discrétisée correspondantes ainsi que leur mise en œuvre technique sont détaillées :

Présentation du problème et enjeux : problème de référence sous-structuré, généralités sur les DDM (mise en donnée, enjeux, environnement matériel) ;
Approches primale, duale et mixte : approches de Schur primale et duale, approches mixtes basées sur un Lagrangien augmenté ou sur un algorithme à deux directions de recherche ;
Stratégies de calcul multiéchelle par DDM, introduction du problème grossier : tests de qualification d’une DDM, préconditionnement du problème d’interface (BDD, FETI, DDM mixte basée sur la LATIN), résolution du problème grossier (solveur de Krylov, gradient conjugué projeté…) ;
Introduction au traitement par DDM des problèmes non-linéaires : approches classiques, méthode de Newton Krylov Schur, technique de relocalisation non-linéaire, approche globale en temps de type LATIN.

Mécaniques des milieus continus, formulations variationnelles, méthodes des éléments finis, algèbre linéaire, méthodes numériques pour la résolution des systèmes linéaires.

[1] P. Gosselet and C. Rey. Non-overlapping domain decomposition methods in structural mechanics. Archives of Computational Methods in Engineering, 13(4): 515-572, 2006 [2] C. Farhat and F.-X. Roux. A method of finite tearing and interconnecting and its parallel solution algorithm. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 32: 1205-1227, 1991 [3] J. Mandel. Balancing domain decomposition. Communications in Numerical Methods in Engineering, 9: 233-241, 1993 [4] P. Ladevèze and A. Nouy. On a multiscale computational strategy with time and space homogeneization for structural

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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E. Balmes, M. Corus.

•CM1-2 : synthèse modale. Historique : McNeal, Craig-Bampton, … Validité et contrôle d’erreur. Ritz et techniques d’apprentissage •CM3 : enjeux numériques en fréquentiel et temporel (renumérotation, lien avec la réduction, schémas, complet ou réduit, comportement NL) •CM4 : pathologies signal, caractérisation d’effets NL, sous-espace •TP1 : fréquentiel base modale. Transferts. Factorisation. Temporels. Signal. •CM5 : analyse modale expérimentale : des mesures à un modèle système. Problème inverse •CM6 : Corrélation calcul essai. Observation, MAC, expansion •TP2 : identification, sous-espace, calcul/essai •CM 7-8 : Paramétrisation de modèle, calculs de sensibilité, réanalyse. Réduction pour la réanalyse. Hyper-reduction. Recalage. •CM9 : amortissement. Dispositifs, mécanismes physiques et représentation numérique. •CM10 : CMS (Component Mode Synthesis) couplage de modèles et réduction •TP3 : Modèles paramétrés : fréquentiel, réduction, amortissement.

Les vibrations des structures, dans les basses fréquences où la description modale est pertinente, sont des sources de problèmes de sécurité (sismique, flottement des avions, fatigue vibratoire, …) ou de qualité (confort acoustique, bruits de crissement, précision de fabrication, …). Leur prise en compte est impérative dans la plupart des industries, comme illustré dans le cours.
L’objectif est de donner une vue d’ensemble des outils numériques et expérimentaux qui caractérisent l’analyse modale dans ses utilisations industrielles et d’aborder quelques sujets de recherche active (amortissement, réduction, modèles hybrides calcul/essai, …). Les notions abordées ont trait : au lien entre les modes (ou leur généralisation dans méthodes de Ritz) et la modélisation système (outils d’automatiques) ; aux enjeux numériques liés à l’utilisation de modèles réduits en vibration (calculs fréquentiels et temporels) ; à l’exploitation de mesures expérimentales et aux problèmes inverses associés (identification recalage) ; et enfin à la gestion de modèles paramétrés (optimisation, recalage, robustesse). Les TP et l’évaluation mettent l’accent sur la mise en œuvre numérique (sous MATLAB/SDT).

•Calcul élément fini •Cours de dynamique des structures de base •Connaissance d’un langage matriciel permettant de s’adapter à des TP sous MATLAB/SDT.

•M. Géradin and D. Rixen, Mechanical Vibrations. Theory and Application to Structural Dynamics. John Wiley & Wiley and Sons, 1994, also in French, Masson, Paris, 1993. •R. J. Craig and A. Kurdila, Fundamentals of structural dynamics. Wiley, 2006 •W. Heylen, S. Lammens, and P. Sas, Modal Analysis Theory and Testing. KUL Press, Leuven, Belgium, 1997. •D. Inman, Engineering Vibration. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1994.

Novembre - Décembre - Janvier - Février.

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Pierre-Alain Boucard.

Ce cours abordera successivement les points suivants Introduction : problématique générale des assemblages, non-linéarités de contact et de frottement. Prise en compte de conditions linéaires sur les degrés de liberté Contact unilatéral sans frottement : problème local, formulation variationnelle, théorèmes énergétiques, prise en compte d'un jeu initial Résolution des problèmes de contact : discrétisation, méthodes de projection, méthode des statuts, pénalisation … Frottement : lois de frottement, loi de Coulomb en quasi statique, problème de point fixe Problèmes d'existence et d'unicité des solutions. Maillages incompatibles. Le cours sera accompagné d'une partie de programmation sous Matlab, et utilisation du code éléments finis CAST3M durant les TP pour mettre en oeuvre certains algorithmes présentés en cours.

La prise en compte des phénomènes de contact et de frottement est vitale dans la simulation du comportement des assemblages de structures. Ces phénomènes sont très fortement non linéaires et leur modélisation pose de sérieuses difficultés tant sur le plan de la formulation que sur celui de la résolution numérique.
Ce module présente, dans un premier temps, la problématique générale des assemblages de structures et les méthodes pratiques de modélisation des conditions de liaison linéaires. Les formulations classiques et les méthodes numériques employées dans les codes de calcul industriels pour la prise en compte des conditions de contact et de frottement sont ensuite abordées. Le cours est illustré par des applications industrielles et une initiation à la résolution sur code de calcul par élément finis est proposée.

Mécanique des milieux continus (formulation variationnelle, théorèmes de l'énergie) Éléments-Finis, notions de programmation.$ -- Continuum Mechanics (variational formulation, energy theorems) Finite Elements, programming notions.

Wriggers, P., Computational Contact Mechanics, New York, J. Wiley& Sons, 2002. Jean, M., Moreau, J.J., Raous, M., Contact Mechanics, Springer-Verlag New York Inc, 1995. Johnson, K.L., Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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Jean-Sébastien Schotté.

? Fournir les éléments théoriques nécessaires à la modélisation physique et la résolution de problèmes d'interaction fluide-structure
? Mettre en évidence les principaux phénomènes physiques (masse et raideur ajoutées, couplage de modes, instabilités de flottement et de flambage...)
? Résoudre par analyse dimensionnelle, analyse modale, et méthodes numériques divers exemples (aéronautique, génie civil ou maritime, électronucléaire, biomécanique...).

Méthodes linéarisées pour le couplage fluide-structure :

- analyse modale des structures couplées à des fluides internes (modes acoustiques, modes de ballottement)

- étude de stabilité des structures dans des écoulements simples (potentiels).

Morand & Ohayon, Interactions Fluide-Structure

De Langre, Fluides et Solides.

Décembre - Janvier - Février.

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Plan du cours: i) Problèmes de Transferts et méthodes de résolutions ii) Problème de l'obstacle- Inéquations variationnelle - Equivalence énergétique - Méthode de pénalisation- Méthode lagrangiennes-Discrétisation (Eléments finis, collocations)-Algorithmes de résolution adaptés à chaque formalisme. ii) Contact entre solides sans frottement en HPP- Cas d'interfaces simples-Discrétisations-Algorithmes de résolution iii) Modèles de Contact en grandes transformations-Formulation faible du problème iv) Prise en compte des frottement et écriture du problème faible en formulation lagrangienne v) Traitements pratiques des les difficultés associés vi) Prise es compte du frottement coulombien-Ecriture faible du probème. vii) Approximations numériques et stratégies de résolution globales. viii) Eléments d'impact viii) Aspects multi-échelles ix) Modéles de contact microscopique fondé sur le potentiel de Lennard Jones. Des exercices simples sont proposés.

Motivation : Sensibiliser à l'omniprésence des phénomènes de contact dans la vie quotidienne et aux enjeux derrière leurs maîtrises, faisant de cette thématique un pilier de la mécanique et des sciences mécaniques théoriques et appliquées.
Approche pédagogique : Partant des équations de transferts mécaniques aux interfaces d'un même solide, une sorte de modèle de contact parfait, le cours est déployé en montant progressivement en difficultés. On commence par le cas d'un problème de contact unilatéral scalaire, dit problème de l'obstacle, fondé sur le modèle de contact de Signorini, et on termine par des problèmes de contact micro, fondés sur des problèmes d'interactions attractives et répulsives, utilisant le potentiel de Lennard-Jones et en utilisant des stratégies multi-échelles, en passant par des problèmes de contacts classiques entre solides, sans et avec frottements. Pour chaque niveau, le problème de contact est formulé en continu en fonction du besoin d'usage : analyse ou résolution.
Les problèmes continus, non linéaires et souvent irréguliers, sont alors approchés numériquement; les problèmes discrets non linéaires sont résolus par différents algorithmes qui sont discutés et comparés entre eux.

Eléments consolidés de MMC Eléments d'analyse convexe Eléments sur les algorithmes de résolutions de problèmes non linéaire. Projection sur des convexes Elements de calcul différentiel Eléments finis-Différences finies.

[1] G. Duvaut et J.L. Lions, Inéquations variationnelle en Mécanique et en physique, Dunod, 1972 [2] J.T. Oden, Kikuchi, [3] K.L. Johnson [4] H. Ben Dhia, Polycopié de Mécanique de Contact, ECP, 2003 [5] H. Ben Dhia, Notes de cours.

Janvier - Février - Mars.

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Savin Eric.

Lecture #1: primer on random vibrations & energetics of the single-dof oscillator. Lecture #2: fundamental coupled problems: (i) 2-dofs system; (ii) 2 single-dof oscillator in an acoustic fluid. Lecture #3: tutorial class #1. Lecture #4: energetics of continuous system vibrations. Lecture #5: energetics of coupled system vibrations; structural-acoustics bases, inertial and radiation effects. Lecture #6: tutorial class #2. Lecture #7: structural-acoustics : infinite and finite plates coupled to the air. Lecture #8: external Neumann problem for the Helmholtz equation. Lecture #9: SEA formulation, hypotheses, shortcomings, parameters. Lecture #10: industrial applications of SEA. Final exam.

Le comportement vibratoire d’une structure industrielle complexe est très bien représenté aux basses fréquences par ses modes propres de vibration (cours d’E. Balmès par exemple). Cette représentation n’est en revanche plus du tout adaptée aux hautes fréquences, pour lesquelles la structure exhibe un comportement radicalement différent. Ces aspects ont une grande importance pratique notamment pour tout ce qui concerne l’acoustique interne et/ou externe des véhicules de transport : automobile, ferroviaire, domaine spatial ... L’Analyse Statistique Énergétique, connue sous le signe SEA, est à ce jour la méthode la plus aboutie pour traiter de tels problèmes, bien qu’elle soit fondée sur une série d’hypothèses relativement restrictives. L’objectif de ce cours est double : d’une part présenter les principaux développements ayant conduit à la formulation SEA, d’autre part insister sur les hypothèses introduites au fur et à mesure et qui restreignent son champ d’application.

Le cours est auto-suffisant mais fait largement appel à des notions de dynamique des structures, vibro-acoustique, interaction fluide-structure, vibrations aléatoires, propagation d'ondes acoustiques et élastiques abordées dans d'autres UE du parcours (MS)2SC.

F. Fahy, P. Gardonio: Sound and structural vibration: Radiation, transmission and response. 2nd Ed., Academic Press, London (2006) M.C. Junger, D. Feit: Sound, structures, and their interaction. 2nd Ed., ASA, Melville NY (1993) R.H. Lyon, R.G. DeJong: Theory and applications of statistical energy analysis. 2nd Ed., Butterworth-Heinemann, Boston MA (1995) R. Ohayon, C. Soize: Structural Acoustics and Vibration. Academic Press, London (1998) P.W. Smith Jr, R.H. Lyon: Sound and structural vibration. NASA CR-160, March 1965.

Novembre - Décembre - Janvier.

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Marc Olive.

Ce cours reprendra des bases d’algèbres (notion d’endomorphisme, noyau, image) et donnera les résultats essentiels sur les matrices : valeurs propres, trigonalisation, pseudo-inverse, calculs par bloc, etc. Le cours abordera ensuite les procédés de calculs pour les système linéaires (solveurs directs et itératifs).

La recherche en calcul de structure conduit presque systématiquement à être confronté à des problèmes algébriques de grande dimension (résolution de systèmes linéaires à plusieurs millions d'inconnues, recherche de valeurs propres, etc). Malgré les progrès des méthodes, logiciels et machines, il n'existe pas de système expert capable de donner rapidement une solution fiable, et il est dans le meilleur des cas inefficace (et souvent dangereux) pour le chercheur de ne pas s'interroger sur la méthode la plus à-même de résoudre ses problèmes sur ses machines. L'objectif de ce cours est de donner conscience aux étudiants de ces difficultés et présenter quelques grandes classes de méthodes répondant aux problèmes les plus classiques.

Aucun.

[1] Trefethen, L. N., & Bau III, D. (1997). Numerical linear algebra (Vol. 50). Siam. [2] Ciarlet, P. G. (1982). Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation..

Septembre - Octobre - Novembre.

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Elisa Budyn.

Ce cours abordera la méthode XFEM et quelques-unes des méthodes particulaires comme la méthode SPH et RKPM. Le cours inclut une introduction a l’analyse fonctionnelle pour comprendre les relations entre les différentes méthodes. Le cours sera évalué par un projet numérique pour lequel les étudiants mettront en œuvre et coderont certaines méthodes comme la méthode XFEM par eux-mêmes et comparerons les performances de ces méthodes par rapport au éléments finis standards.

La méthode éléments finis standards présente des limites pour certains problèmes physiques comme les problèmes de fragmentation ou de multi-fissuration. Ces problèmes demandent des remaillages intensifs ou des suivis de particules qui sont soit très coûteux numériquement soit non implémentables. Les méthodes particulaires et la méthode XFEM offrent des strategies de calculs alternatifs qui permettent de modéliser raisonnablement ce types de problèmes
L’objectif de ce cours est de présenter les concepts de base des techniques des méthodes particulaires et de la méthode XFEM ainsi que leur mise en œuvre pratique.

The Finite Element Method presents some limitations to model certain physical problems such as fragmentation and multi-crack growth. These problems require large adaptive remeshing or follow-up of fragmented material parts that are either computationally expensive or non-implementable. Particle methods and XFEM offer alternative numerical strategies that makes it possible to reasonably model these types of problems.
The objective of this course is to present basic technical concepts of particle methods and XFEM and their numerical implementation.

Mécanique des milieux continus, méthodes des éléments finis, analyse fonctionnelle, algèbre linéaire, analyse mathématique des EDPs, notions de programmation.

[1] Meshfree particle methods, S. Li, W K Liu, Springer. ISBN 978-3-540-22256-9 [2] The non linear finite element method, T Belytschko, WK Liu, B Moran, KL Elkhodary, Wiley ISBN-13: 978-1118632703.

Septembre - Octobre - Novembre.

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Feyel Frédéric.

On utilisera, pour ce cours, une pédagogie inversée : les élèves prépareront collectivement les séances de cours, guidés progressivement par l’enseignant (qui imposera notamment le plan, afin de guider l’apprentissage des connaissances). Les concepts seront alors présentés, et débattus en séance collective. Un projet numérique permettra de s’assurer que les concepts abordés ont bien été assimilés.

L’objectif de ce cours est de présenter, puis de mettre en œuvre, les approches et techniques numériques permettant de décrire les non-linéarités matérielles, dans le cadre général de la mécanique des milieux continus.
On rappellera le cadre thermodynamique continu général, et on reviendra sur les questions de discrétisation éléments finis, en proposant une vision générale du traitement de ces non-linéarités matérielles.
Une fois ces fondamentaux rappelés, on s’intéressera à des modèles de complexité croissante, typiquement des modèles de plasticité, de viscoplasticité puis d’endommagement. On ouvrira sur des questions plus complexes d’approches multiéchelles.

Mécanique des milieux continus, méthodes des éléments finis, notions de programmation.

[1] Mécanique des matériaux solides, Jean Lemaitre, Jean-Louis Chaboche, Ahmed Benallal, Rodrigue Desmorat [2] Mécanique non linéaire des matériaux, Jacques Besson, Georges Cailletaud, Jean-Louis Chaboche, Samuel Forest.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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Kazymyrenko, Kyrylo, EDF Haboussa, David, EDF.

Session 1 : Examen écrit (3h) - Session 2: Examen oral (environ 1h). UE compensable.

Dans le cadre de ce cours nous présentons les deux grandes classes d’approches théoriques qui peuvent être employées pour décrire l’amorçage et la propagation d’une fissure dans un matériau fragile : la mécanique de la rupture fragile pour les structures fissurées et les modèles d’endommagement. Un point en particulier sera porté sur le calcul numérique des quantités mécaniques nécessaires à l’amorçage et/ou l’initiation et la propagation de fissure.
Brève présentation de la problématique industrielle.
MELR
modes de chargement I II III
singularité des contraintes en pointe de la fissure
vision d’Irwin et énergétique
notions d’instabilité,
prédiction de l’initiation et de la propagation d’une fissure existante,
méthodes numériques pour calculer des quantités mécaniques estimées en pointe de fissure (intégrales de contour).
introduction à la méthode des éléments finis étendus XFEM.
Endommagement des matériaux :
Lien avec la théorie de Griffith : modèle de Francfort-Marigo.
Cadre thermodynamique adéquat et modèle standard généralisé.
Notion de sous-gradient.
Problème d’une localisation numérique (non physique) des phénomènes d'endommagement.
Méthodes de régularisation de Hillerborg.
Modèles d’endommagement régularisés par le gradient de déformation et de variable interne.
Zoom sur les modèles cohésifs : couplage endommagement-plasticité.
Problème d’identification des paramètres des modèles : pilotage d’essai hybride.

Connaissance de la mécanique des milieux continus ; Notions d’éléments finis.

Mécanique de la rupture fragile et ductile » ; Auteur : LEBLOND Jean-Baptiste ; Lavoisier 2003 « Mécanique des matériaux solides » ; Auteurs : LEMAITRE Jean ; CHABOCHE Jean-Louis ; Dunod.

Décembre - Janvier - Février.

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Les étudiants peuvent choisir, pour chaque période A et B du semestre S3, une UE extérieure au Master 2 , soit dans les autres spécialités de M2 du master, soit dans une autre mention de master.

Les modalité de contrôle des connaissances des UE externes sont celles appliquées dans le Master 2 d'origine de l'UE. Les règles de compensation sont identiques à celles appliquées pour les UE internes au Master 2.

Les modalité de contrôle des connaissances des UE externes sont celles appliquées dans le Master 2 d'origine de l'UE. Les règles de compensation sont identiques à celles appliquées pour les UE internes au Master 2.

Les étudiants peuvent choisir, pour chaque période A et B du semestre S3, une UE extérieure au Master 2 , soit dans les autres spécialités de M2 du master, soit dans une autre mention de master.

Barbarulo Andrea (CentraleSupelec) Neron David (ENS Paris-Saclay).

Stage de recherche en laboratoire ou en entreprise Mode de contrôle des connaissances: Rapport écrit et soutenance orale.

Mener un travail de recherche.

Janvier - Février - Mars - Avril - Mai - Juin - Juillet.

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Barbarulo Andrea (CentraleSupelec) Neron David (ENS Paris-Saclay).

-150h de travail personnel de novembre à mars -évaluation : rapport + soutenance.

Introduction à la recherche :
-étude bibliographique sur un sujet précis + petite implémentation numérique.

Novembre - Décembre - Janvier - Février - Mars.

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