M2 Analysis, Modeling, Simulation

Patrick Ciarlet Maryna Kachanovska.

The course will deal with the following topics:

-Local Cauchy problem for the Euler equations of perfect incompressible fluids. Beale-Kato-Majda blow-up criterion and global existence in 2D.

-Arnold stability Theorem. Necessary conditions of instability of Rayleigh and Fjortoft, study of an example of unstable flow.

-Abstract nonlinear instability Theorem

-Applications to hydrostatic Euler equations: d\'erivation with analytic regularity. Derivation and local well-posedness for stable flows. Non-derivation for unstable flows.

Le cours traitera les aspects suivants:

-Problème de Cauchy local pour les équations d'Euler pour les fluides parfaits incompressibles. Critère d'explosion de Beale-Kato-Majda et existence globale en 2D.

-Théorème de stabilité d'Arnold. Conditions nécessaires d'instabilité de Rayleigh et Fjortoft, étude d'un exemple de flot instable.

-Théorème abstrait d'instabilité non linéaire.

-Applications aux équations d'Euler hydrostatiques : dérivation en régularité analytique. Dérivation et caractère bien posé en régularité finie pour des flots stables.
Non-dérivation et caractère mal posé pour des flots instables.

Bases d'analyse fonctionnelle.

Septembre;Octobre;Novembre.

ORSAY

Jean Clerouin Yves Peysson Stéphane Mathis.

Les points que nous aborderons seront les suivants : 1. Modélisation de l'hydrodynamique : Modélisation des équations de l'hydrodynamique. Cas d'un fluide incompressible, newtonien, isotrope et homogène. 2. Solutions classiques : Détermination des potentiels hydrostatique de Lorentz et hydrodynamique d'Oseen. Existence de solutions classiques des équations de Navier-Stokes (méthode des séries). 3. Solutions mild : Existence de solutions au sens des distributions : méthode des itérations de Picard (théorie de Kato et Fujita). 4. Solutions faibles : Existence de solutions au sens des distributions : inégalités d'énergie et méthodes de compacité (théorie de Leray). 5. Critères de régularité (Serrin) : On présentera les théorèmes classiques de Serrin : unicité fort-faible, régularité locale, critères de non-explosion. 6) Discussion des cas stationnaires et auto-similaires 7) Théorème de Koch Tatru (données BMO$^{-1}$).

Le cours propose une introduction au problème de Navier-Stokes sur l'espace tout entier.
Il s'agit de trouver $u$ d\'efinie sur $[0, T]\times \mathbb{R}^3$ à valeurs dans $\mathbb{R}^3$ telle que

- $u$ est à divergence nulle $\nabla \cdot u0$,
- $u$ vérifie l'équation aux dérivées partielles,
$$ \partial_{t} u + (u \cdot \nabla) u + \nabla p \nu \Delta u + f$$
avec $\nu$ positif constant et $f$ une force extérieure donnée.
- $u$ est solution du problème de Cauchy $u(0,x) u_{0}(x)$.

Décembre;Janvier;Février.

ORSAY

Marc Tajchman.

Hyperbolicité des systèmes linéaires et non linéaires, motivation et exemples Analyse des équations scalaires non linéaires, entropies, théorème de Krushkov Analyse numérique des équations scalaires : schémas monotones Ondes simples pour les systèmes : ondes de détente et invariants de Riemann, ondes de choc et ensemble de Rankine-Hugoniot, discontinuités de contact Théorème de Lax, résolution du problème de Riemann pour les systèmes non linéaires et application au système de la dynamique des gaz Hyperbolicité des systèmes linéaires et non linéaires, exemples et contre-exemples applicatifs Problème de Riemann pour le système de la dynamique des gaz en coordonnées Lagrangiennes et Euleriennes Méthode des volumes finis, schéma de Godunov Formalisme de Harten, Lax et van Leer, schémas de Godunov associés Méthodes de relaxation Aspects multidimensionnels, prise en compte des termes source et des conditions aux limites.

Ce cours est consacré à l'analyse théorique et à l'approximation numériques des solutions des systèmes hyperboliques linéaires et non linéaires.

Septembre;Octobre;Novembre.

ORSAY

Présentation générale du calcul scientifique à haute performance Analyse abstraite du calcul parallèle à mémoire distribuée Rappels sur les méthodes numériques classiques pour la résolution d'EDP Partitionnement de maillage Algorithmes parallèles pour la résolution de problèmes structurés et non-structurés Résolution parallèle de grands systèmes linéaires (méthodes directes/itératives, méthode du gradient conjugué, méthodes de Krylov, GMRES, préconditionnement) Introduction aux méthodes de décomposition de domaine Initiation à la programmation parallèle en C avec MPI (opérations de base : communications point-à-point, communications globales, réduction) Mise en œuvre de la résolution parallèle de problèmes structurés et non-structurés dans le cadre de deux projets informatiques.

Le calcul scientifique parallèle est aujourd'hui un outil essentiel dans la recherche et l'industrie. Il permet de résoudre une large gamme de problèmes par la simulation numérique, dans des domaines aussi variés que le génie civil, la climatologie, l'aéronautique et l'électronique. Pour traiter des problèmes de taille et de complexité croissante avec précision, il est indispensable de tirer parti de la puissance de calcul des architectures informatiques parallèles. En amont, les méthodes numériques doivent alors être développées pour permettre un calcul parallèle efficace.
Dans ce cours, les aspects théoriques et pratiques du calcul scientifique parallèle à mémoire distribuée seront introduits. On s'intéressera plus particulièrement à la résolution de problèmes structurés et non-structurés issus de la discrétisation d'EDP par différences finies, volumes finis ou éléments finis. Dans un cadre abstrait, on analysera la parallélisation des algorithmes de résolution, le partitionnement de maillages et la résolution parallèle de grands systèmes linéaires. Des projets informatiques seront réalisés avec, pour la mise en œuvre, l'utilisation de la bibliothèque MPI (Message Passing Interface).

Méthodes numériques, algèbre linéaire, algorithmique, langage C.

P. Ciarlet, E. Jamelot, Rappels de calcul scientifique, ENSTA. F. Magoulès, F.-X. Roux, Calcul scientifique parallèle, Dunod, 2013. Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, SIAM, 2003.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU

Christian Gérard.

Eliane Bécache Stéphanie Chaillat-Loseille.

Rappels et compléments d'analyse harmonique Etude des équations linéaires: existence, description en Fourier, estimations de Strichartz Equations non linéaires via l'injection de Sobolev Equations non linéaires avec les estimations de Strichartz Existence globale: utilisation des lois de conservation Théorie de la diffusion pour l'équation de Schrödinger non linéaire d\'efocalisante Existence d'ondes solitaires, stabilité, instabilité, blow-up pour l'équation de Schrödinger non linéaire focalisante.

L'objectif de ce cours est d'introduire les étudiants aux Equations aux Dérivées Partielles Dispersives linéaires ou non-linéaires, et d'exhiber quelques comportements typiques des solutions: existence, dispersion, diffusion ou explosion.
L'essentiel du cours sera consacré à un modèle simple, l'équation de Schrödinger.

Bases d'analyse fonctionnelle.

Décembre;Janvier;Février.

ORSAY

Julien Tierny Tobias Isenberg.

Le cours abordera les sujets suivants:

-Régularité pour les équations elliptiques linéaires: régularit\'e $L^p$, régularité holdérienne, régularité pour
les équations à coefficients $L^\infty$.

-Point fixe de Schauder, applications aux équations elliptiques semi-linéaires. Lien avec le calcul des variations.

-Eléments de théorie des bifurcations

-Méthodes de monotonie, applications aux p-Laplacien.

-Introduction aux solutions de viscosité.

Bases d'analyse fonctionnelle.

Septembre;Octobre;Novembre.

ORSAY

Emmanuel Mouche Michel Kern.

1. CM: Présentation du cours / Théorie: solutions fondamentales et Représentation Intégrale de frontière

2. CM: Théorie: Représentation Intégrale de frontière TP: Mise en oeuvre de la Représentation Intégrale de frontière

3. TP: Mise en oeuvre de la Représentation Intégrale de frontière

4. TP: Mise en oeuvre de la Représentation Intégrale de frontière CM: Théorie: Equations Intégrales de frontière

5. TP: Résolution numérique des Equations Intégrales de frontière

6. TP: Résolution numérique des Equations Intégrales de frontière

7. CM et TP: Approximations de rang faible

8. CM et TP: Accélération de la BEM avec les Méthodes de matrices hiérarchiques

9. CM: Méthode Multipôle Rapide TP: Méthodes de matrices hiérarchiques

10. Présentation des TPs.

Les ondes qui se propagent dans notre environnement sont à la fois un outil d'investigation du monde qui nous entoure (contrôle non-destructif, radar ou télescopes) et un moyen de transmission de l'information (musique, radio).
Dans ce cours nous présenterons une méthode numérique particulièrement adaptée à la simulation de la propagation des ondes dans des domaines non bornés: la méthode des éléments de frontière (BEM pour Boundary Element Method).

Dans la première partie du cours, nous commencerons par établir les formules de représentation intégrale ainsi que plusieurs équations intégrales de frontière, pour les ondes acoustiques en régime harmonique. Nous en ferons l'analyse mathématique. Lors des séances de TP nous mettrons en oeuvre une méthode de résolution numérique de ces équations, la BEM.

Dans la deuxième partie du cours, nous présenterons des algorithmes modernes de résolution rapide de ces systèmes :
méthodes d'approximation de rang faible, méthodes de matrices hiérarchiques et méthodes multipoles rapides. Lors des séances de TP nous illustrerons l'intérêt de ces méthodes en accélérant le code BEM développé
dans la première partie du cours.

Connaissances élémentaires en théorie des distributions, algèbre linéaire, MATLAB.

J.-C. Nédélec, Acoustic and Electromagnetic Equations}, Springer, 2001. M. Bebendorf, Hierarchical Matrices, Springer, 2008. D. Colton and R. Kress, Integral Equation Methods in Scattering Theory, SIAM, 2013. G.H. Golub and C.H. Van Loan, Matrix Computations, J. Hopkins Univ. Press, 2013.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU

En plus de cette étude théorique, nous étudierons les aspects numériques de la méthode : l'analyse numérique d'une part de méthodes d'homogénéisation numérique et la mise en pratique de ces méthodes. Des séances de travaux pratiques sont prévues.

Ce cours est consacré à l'introduction des concepts de base de l'homogénéisation des matériaux ayant une micro- structure périodique. Lorsque la période de la microstructure est faible par rapport à la taille du matériau (par exemple, dans des mousses, des matériaux composites, etc.), la question est de savoir si on peut trouver un modèle effectif qui rend compte du comportement macroscopique de ce matériau.
Nous nous concentrons dans le cours sur les modèles qui sont donnés par une équation aux dérivées partielles (EDP) avec des coefficients périodiques. D'un point de vue mathématique, les équations et leur solution sont paramètrées par la période et le problème est d'étudier la limite, si elle existe, de la famille de solutions, quand la période tend vers 0. Est ce que cette limite est solution d'une EDP limite ? Dans ce cas, les coefficients caractérisent alors le milieu effectif. Parmi les méthodes théoriques classiques utilisées pour étudier ce genre de problèmes, nous nous concentrons sur la méthode de développement multi-échelle et la convergence double-échelle. Ces deux méthodes donnent des résultats de différentes saveurs, heuristique ou rigoureuse, et arrivent à être très complémentaires.
Nous prévoyons également de fournir aux étudiants quelques éléments sur la Gamma convergence qui sont liés au sujet.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU

?- Linux et son environnement, - Bonnes pratiques et développement de codes, - Introduction à la programmation objet et au langage C++, - Aspects numériques et représentation en machine,.

Ce cours est une introduction pratique à la programmation en C++ pour le domaine du calcul scientifique, dans un environnement Linux.
Le développement de logiciels de simulation efficaces requiert l'utilisation d'outils adaptés mais aussi une bonne connaissance des problèmes numériques rencontrés lors de l'implémentation sur machine d'algorithmes mathématiques.
Le cours présentera une introduction à la programmation objet en C++ en tenant compte des contraintes fortes liées à la simulation et au calcul.
On s'attardera aussi sur les outils et les bonnes pratiques utilisés dans un environnement de développement Open Source sous Linux.
On présentera également les limites du calcul flottant et entier dans un contexte classique.

Algorithmique, bases en programmation.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU

Guy Bonnaud Stéphane Mathis Sacha Brun Jérôme Perez.

Rappels de probabilités/statistiques

Modélisation des incertitudes

Propagation des incertitudes: Monte-Carlo, métamodélisation: formalisme/dérivation des représentations spectrales stochastiques (polynômes de Chaos), Krigeage / processus gaussiens

Apprentissage statistique

Analyse de sensibilité

Inférence bayesienne

Applications : illustration sur des exemples concrets revisités dans un contexte incertain.

La prise en compte des incertitudes dans les problèmes mécaniques et industriels devient essentielle dans l'ingénierie actuelle. L'objectif de ce cours est de se familiariser avec les concepts/outils de quanti??cation et propagation des incertitudes et la modélisation stochastique/statistique de problèmes physiques simulés par des solveurs numériques. Parmi les approaches probabilistes, différentes méthodes d'approximation stochastiques s'appuyant sur la théorie des probabilités seront abordées pour venir enrichir la prédiction numérique déterministe classique du système. Ces techniques permettent notamment de quantifier l'impact d'incertitudes paramétriques sur la prédiction d'un modèle numérique, un meilleur contrôle de l'erreur numérique, l'obtention de?? barres d'erreur??, l'identification des paramètres influents par une étude de la sensibilité du système, l'analyse de risque. Les modèles stochastiques et méthodes numériques présentés seront implémentés pour des exemples concrets lors de TP sur ordinateur avec Matlab.

Rappels sur les probabilités — Aléatoire, Introduction à la théorie et au calcul des probabilités, Sylvie Méléard, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2014 — Introduction au calcul des probabilités et à la statistique, Jean-Francois Delmas, Collection Les cours, Les presses de l'ENSTA, 2010

Quantification des incertitudes — Uncertainty quantification: theory, implementation and applications, R. C. Smith, SIAM, 2014 — Introduction to Uncertainty Quantification, T.J. Sullivan, Springer, 2015

Inférence Bayésienne — Bayesian Data Analysis, by Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, David B

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Sonia Fliss Patrick Joly.

La simulation numérique haute-fidélité est très consommatrice de temps de calcul, notamment à cause du grand nombre de degrés de liberté nécessaire, particulièrement en 3 dimensions. Le cours propose deux alternatives permettant de réduire drastiquement le coût de calcul, les méthodes d'ordre élevé et la réduction de modèle. Le cours présente d'une part les méthodes d'ordre élevé les plus courantes : différences finies, Galerkine discontinu, et leur adaptation aux machines actuelles. Il aborde d'autre part quelques-unes des techniques de réduction d'ordre les plus populaires actuellement, ainsi que les algorithmes classiques associés à ces stratégies. En particulier, il introduit les méthodes basées sur la Proper Orthogonal Decomposition (POD), les Reduced-Bases (RB), la Proper Generalized Decomposition (PGD), mais aussi les techniques de bases modales.

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Le but de ce cours est de présenter les outils principaux de l'analyse spectrale des opérateurs autoadjoints non-bornés avec applications aux opérateurs différen- tiels. On introduira un calcul fonctionnel de tels opérateurs et une classification de leurs spectres, et on présentera des techniques permettant d'étudier les pro- priétés spectrales des opérateurs différentiels en fonctions de leurs coefficients : analyse des opérateurs compacts, principe variationnel, notions de la théorie des perturbations. Ensuite on appliquera ces techniques à l'étude des valeurs propres associées à certains problèmes aux limites.

Bases d'analyse fonctionnelle.

Septembre;Octobre;Novembre.

ORSAY

Didier Lucor.

Marc Massot Laurent Séries.

— Modélisation mathématique des systèmes complexes multi-échelles. — Définition de la notion de calcul haute performance et synthèse sur les nouvelles architectures de calcul et modèles de programmation parallèle. — Analyse numérique des EDP multi-échelles en temps et en espace (Décomposition de domaine, séparation d'opérateur...). — Présentation et analyse de méthodes numériques avancées (multi-résolution adaptative et séparation d'opérateur avec adaptation temps/espace, algorithme pararéel, méthodes préservant l'asymptotique, méthodes implicite et résolution de systèmes linéaires,...). — Travaux pratiques sur machine parallèle avec fourniture de codes de calcul à titre d'exemple pour chaque méthode.

Dans un nombre croissant d'applications, scientifiques ou industrielles, la simulation numérique joue un rôle clef pour comprendre et analyser les phénomènes physiques complexes. Elle permet aussi de prédire le fonctionnement de dispositifs comme les chambres de combustion aéronautiques (Fig. 1) dans l'optique d'une conception avancée. La complexité des systèmes et la taille des simulations multi-dimensionnelles rendent l'utilisation du calcul haute performance nécessaire.
Ce cours propose dans un premier temps une présentation des enjeux que pose la modélisation des systèmes complexes pour les méthodes numériques et la simulation et un état de l'art des nouvelles architectures de calcul et des modèles de programmation parallèle. Après avoir rappelé les bases de l'analyse numérique des EDP pour les problèmes multi-échelles, nous proposons d'explorer quelques méthodes numériques avancées conçues pour traiter la raideur présente dans ces modèles complexes tout en tirant le meilleur parti des nouvelles architectures de calcul. Ces méthodes s'appuient sur une combinaison efficace entre analyse numérique, modélisation et calcul scientifique. Des séances de mise en oeuvre sur machines en lien avec le mésocentre de calcul de l'Ecole Polytechnique seront
proposées.

Formation de base en EDP et analyse numérique.

— M. Duarte, Adaptive numerical methods in time and space for the simulation of multi-scale reaction fronts, Thèse Ecole Centrale Paris (2011) — W. Hundsdorfer et J. Verwer, Numerical Solution of Time–Dependent Advection–Diffusion–Reaction Equations, Springer–Verlag, Berlin (2003) — L. Gosse, Computing Qualitatively Correct Approximations of Balance Laws, SIMAI Springer Series, Vol. 2, Springer (2013) — V. Dolean, P. Jolivet, F. Nataf, An Introduction to Domain Decomposition Methods : algorithms, theory and parallel implementation (2015) — B. Chapman, G. Jost, R. Van Der Pas, Using OpenMP

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Daniel Bouche David Néron.

Laurent Dumas.

Propriétés des champs électromagnétiques Espaces de Sobolev et théorèmes de trace en électromagnétisme Relations constitutives ; conditions aux limites ; définition des modèles Résolution des équations de Maxwell instationnaires et énergie Résolution des modèles statiques Résolution des équations de Maxwell stationnaires en domaine borné Discrétisation par éléments finis d'arête Analyse numérique et convergence.

On étudiera les ondes de nature électromagnétiques. Ces ondes sont modélisées par les champs électromagnétiques
qui sont les solutions des équations de Maxwell. Ce cours visera quatre objectifs principaux : étude des propriétés des champs électromagnétiques ; définition de modèles associés aux équations de Maxwell (relation entre les champs, modèles statique ou à dépendance en temps connue, ...) ; résolution mathématique rigoureuse de ces modèles ; techniques de discrétisation et mise en oeuvre numérique.

Analyse fonctionnelle appliquée, formulations variationnelles, analyse numérique des EDP.

F. Assous, P. Ciarlet, S. Labrunie, Mathematical Foundations of Computational Electromagnetism, Springer, 2018. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, Third Edition, John Wiley & Sons, 1999. P. Monk, Finite Element Methods for Maxwell's Equations, Oxford University Press, 2003.

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Pour la partie Plasmas:

Ionisation Trajectoires de charges en champs imposées et collisions Rayonnement Modèles cinétiques et hydrodynamiques Modes électromagnétiques propres

Pour la partie astrophysique :

Evolution stellaire Le soleil et son environnement Formation des grandes structures cosmiques Etude des instabilités hydrodynamiques dans le contexte de l'astrophysique.

Le cours est décomposé en 4 séances consacrées aux plasmas et 5 séances consacrées à des systèmes astrophysiques. Les phénomènes de base sont passés en revue et constitueront le référent au cours avancé en modélisation et simulation numérique de plasma et d'astrophysique enseigné en seconde période.
Plasmas : ce cours introduit les processus physiques en oeuvre dans les plasmas, milieu dominé par des comportements électromagnétiques induits: processus dominants, modèles pertinents sont passés en revue.
La physique des plasmas est par essence la physique naturelle de tout l'univers extra-planétaire et celle de plasmas artificiels activement étudiés sur terre, depuis les décharges luminescentes jusqu'aux tokamaks pour la fusion thermonucléaire.
Astrophysique : ce cours introduit les notions de base permettant de décrire la formation, l'évolution et les propriétés générales des structures stellaires et des grandes structures cosmiques.

Niveau L3 en physique.

G. Bonnaud, Notes de cours de physique des plasmas J.M. Rax, Physique des plasmas, Dunod, 2005 J. Perez, Gravitation classique : Problème à N corps, de 2 à l'infini..., Les presses de l'ENSTA, 2011 B. W. Carroll, D. A. Ostlie, An introduction to modern astrophysics, Addison-Wesley, 1996.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU

?- Equation de Darcy, équation de Richards ; - Equation de transport par convection-diffusion-dispersion ; - Ecoulement diphasique immiscible ; - Méthodes de discrétisation spatiale : volumes finis, décentrage ; - Formulations des écoulements diphasiques, schémas en temps ; - Résolution des systèmes non-linéaires par des méthodes de Picard ou de Newton.

L'utilisation de modèles physiques et numériques permettant de simuler les transferts dans les couches terrestres superficielles (écoulements de fluides, transport de traceurs) et les couplages associés (température, chimie, mécanique) est devenue une activité incontournable dans tous les secteurs industriels s'intéressant à la géosphère : gestion de la ressource en eau, impact du changement climatique, dépollution de sols et d'aquifères, étude de réservoirs pétroliers et de gaz, géothermie, séquestration du CO2, stockage de déchets.
Ce cours vise à donner les bases de la modélisation physique et numérique des écoulements de fluides et les couplages associés dans les couches géologiques superficielles ou profondes. Soulignons qu'il s'adresse aussi aux étudiants désireux de s'orienter vers l'étude des géomatériaux tels que ceux utilisés en génie civil
(matériaux cimentaires ou argileux).
Ce cours comporte une partie cours magistral, donnant les bases de la modélisation physique et de la simulation numérique des écoulements, et une partie de travaux pratiques sur PC visant à simuler (sous Matlab, ou d'autres codes), des cas tests d'écoulement et de transport.

Mathématiques, programmation sous Matlab, bases en physique des phénomènes de transfert.

?- J. E. Aarnes, T. Gimse and K.-A. Lie, An introduction to the numerics of flow in porous media using Matlab (folk.ntnu.no/andreas/papers/ResSimMatlab.pdf). - J. Bear and A. Verruijt, Modeling Groundwater Flow and Pollution, Springer-Verlag, 1987. - R. Helmig Multiphase Flow and Transport Processes in the Subsurface : A Contribution to the Modeling of Hydrosystems, Springer-Verlag 1997. - G. de Marsily, Hydrogéologie quantitative, Masson 1981 (www.hydrologie.org/MISC/hydr/marsily/gdm-hydrogeologie.pdf).

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Plan du cours:

Modélisation du transport de particules neutres Introduction à la méthode Monte Carlo Théorème central limite, estimateurs de variance et intervalles de confiance Discrétisations angulaires $P_N$ / $S_N$ Discrétisation spatiale : schéma diamant Liens entre transport et diffusion Limite de diffusion du schéma diamant Accélération synthétique des itérations de scattering (DSA) Application métier : physique des réacteurs, photonique.

Ce cours présente l'ensemble des étapes intervenant dans la modélisation et la simulation des phénomènes de transport de particules neutres.

Après avoir dérivé les équations aux dérivées partielles modélisant ces phénomènes, nous étudierons leur discrétisation et mettrons en pratique différentes méthodes de résolution. Sur un même problème modèle, nous pourrons ainsi comparer les avantages et inconvénients des méthodes Monte Carlo et déterministes. Ceci donnera lieu à l'implémentation pratique de solveurs en C++.

Dans une dernière partie, nous présenterons des applications "métier" de la
simulation de ces phénomènes.

C++, Discrétisation et analyse numérique des EDP : éléments finis, volumes finis, différences finies.

A. Hébert, Applied Reactor Physics, Presses Internationales Polytechnique, 2010. F. Févotte, G. Samba, Notes: transport de particules neutres.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU

Partie 1: Méthodes de type stochastiques

- Algorithmes génétiques - Stratégies d'évolution

Partie 2: Méthodes de type déterministes

Méthodes locales directes (Nelder Mead, MDS) Méthodes locales de type régions de confiance (NEWUOA) Méthodes globales déterministes (DIRECT) Méthodes globales de type surfaces de réponse (RBF, Krigeage).

Les problèmes d'optimisation se rencontrent dans de nombreux domaines de l'ingénierie où les fonctions à optimiser peuvent être de différents types: boîte noire ou explicite, à variables continues ou discrètes, coûteuses à évaluer ou non, etc.. Dans la plupart des cas, le gradient de ces fonctions n'est pas facilement calculable. D'autre part, elles possèdent en général un grand nombre de minima locaux imposant de définir de nouvelles stratégies d'optimisation. Ce cours présente les principales méthodes d'optimisation sans gradient développées ces dernières années, de type locales ou globales, déterministes ou stochastiques, ainsi que les modèles approchés permettant de réduire le coût de calcul. Le cours sera illustré par plusieurs applications industrielles ou en sciences du vivant et comprendra la réalisation d'un projet dans un de ces thèmes.

Fonctions de plusieurs variables, probabilités (cours niveau L3 ou M1).

Introduction to Derivative Free Optimization, A. Conn, K. Scheinberg et L. Vincente SIAM, 2009. Optimisation continue : cours et exercices, J.F. Bonnans, Dunod, 2006. Numercial optimization, theoretical and practical aspects : JF Bonnans, JC Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizbal, Springer Verlag 2003. Genetic Algorithms on search, optimization and machine learning : D. Goldberg, 1989.

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Les phénomènes de diffraction à fréquence élevée présentent des difficultés spécifiques dues non seulement au
nombre très élevé de degrés de liberté nécessaire pour leur approximation numérique mais encore à l'apparition de
singularités de type caustiques générant des artefacts numériques. Le cours se propose de présenter les différents
outils mathématiques et numériques permettant de s'affranchir de ces difficultés, et comment les mettre en œuvre,
en association avec les méthodes d'équations intégrales, pour calculer le champ diffracté par des objets en même temps complexes et très grands en terme de longueur d'onde.

Connaissances élémentaires en Equations d'ondes, Méthodes numériques pour les EDP , MATLAB.

O. Bokanowski, H. Zidani, Méthodes numériques pour la propagation de fronts. Notes de cours ENSTA D. Bouche, M. Lenoir, Notes de cours sur la diffraction d'ondes haute fréquence. ENSTA D. Bouche, F. Molinet, R. Mittra Asymptotic Methods in Electromagnetics. Springer (1997) M. Chupin, Etude des équations HJB sur domaine stratifié, PFE ENSTA P. Hoch, Schémas d'approximation pour les équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre : maillages structurés et non-structurés, CERMICS (2005).

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Panorama des architectures de calcul et des modèles de programmation (cours) ; Optimisation préalable de la programmation séquentielle ; Programmation en mémoire partagée à l'aide d'OpenMP (ou d'autres outils disponibles) (cours+TP) ; Programmation hybride MPI+OpenMP (cours+TP) ; Programmation de cartes graphiques (GPU) pour le calcul scientifique (cours+TP) ;.

La course à la puissance des ordinateurs est désormais couplée avec une maîtrise de la consommation de l'énergie et l'impact environnemental.

Désormais, les machines utilisées pour la simulation numérique sont souvent des supercalculateurs à plusieurs dizaines, centaines, voire milliers de processeurs multi coeurs, éventuellement couplés avec des accélérateurs.

Ces nouvelles architectures amènent à repenser la façon dont les programmes de simulation sont écrits.

Ainsi, on peut imaginer que l'utilisation de la seule bibliothèque MPI pourra être limitée par un trop grand nombre de tâches à gérer simultanément, et qu'il faut alors utiliser plusieurs niveaux de parallélisme.

Le cours est organisé en séances de cours et d'applications pratiques au travers de TPs et permettra d'aborder différents modèles de programmation parallèles adaptés aux architectures matérielles disponibles (processeurs multi-c\oe urs, machines multi-processeurs, accélérateurs de calcul).

Algorithmique, programmation parallèle (MPI), programmation en langage C (notions de C++).

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Transformation de Floquet Bloch Théorie spectrale des opérateurs symétriques du second ordre à coefficients périodiques Spectre de bande et ondes de Bloch Régime harmonique : Représentation de la solution de l'équation de Helmholtz via les ondes de Bloch et le principe d'absorption limite Régime temporel : Représentation de la solution de l'équation des ondes Lien entre les régimes harmonique et temporel : principe d'amplitude limite Construction de conditions transparentes de type Dirichlet-to-Neumann en régime harmonique Condition de radiation et unicité de la solution sortante Homogénéisation : approche double échelle et approche par ondes de Bloch Extension aux guides d'ondes périodiques.

Les milieux périodiques apparaissent dans un grand nombre d'applications (matériaux composites ou à fibres en
mécanique et les cristaux photoniques en micro- et nano-technologies). Ces milieux périodiques présentent des
propriétés très intéressantes. Par exemple, en optique, dans les cristaux photoniques qui sont appelés également des
matériaux à bandes interdites de photons, des ondes électromagnétiques monochromatiques à certaines fréquences
ne peuvent pas se propager dans de tels milieux. Il existe même des intervalles entiers de fréquences dites interdites.
Ces milieux peuvent ainsi être utilisés par exemple dans la réalisation de filtres ou d'antennes.
On s'intéresse dans ce cours aux phénomènes de propagation d'ondes dans des milieux périodiques. Ces problèmes
nécessitent des outils mathématiques un peu plus sophistiqués que dans le cas des milieux homogènes mais on
pourra mener une analyse assez poussée qui exploite au mieux la structure périodique des milieux.
On étudiera essentiellement des milieux 1D pour lesquels les outils et les idées peuvent être exposés simplement.
On expliquera dans le dernier cours comment étendre cette analyse à des milieux 2D et 3D à travers l'étude des
guides d'ondes périodiques.

Analyse fonctionnelle, formulations variationnelles.

P. Kuchment, Floquet Theory for partial differential equations, vol. 60 de Operator Theory : Advances et Applications. Birkhauser Verlag, Basel. Eastham M.S.P. , The spectral theory of periodic differential equations., Edinburgh : Scotish Academic Press, Edinburgh-London.

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Eric Lunéville (ENSTA) Daniel Bouche (CEA).

François Alouges Sonia Fliss.

U. Boscain Y. Chitour F. Jean.

Jean François Babadjian.

?- Calcul des variations en dimension 1 - Semi-continuité des fonctionnelles intégrales - Lien avec EDP elliptiques et fonctions harmoniques ; quelques résultats de régularité en utilisant la minimalité . - $\Delta_p$, $\Delta_\infty$ et minimiseurs absolus. - Problèmes sous contraintes de divergence en trafic et en mécanique (compliance) et dualité. - Quelques notions sur les problèmes vectoriels (quasi- et poly-convexité\dots). - Notions sur l'espace BV, problème isopérimétrique, existence et applications. - Théorie générale de la $\Gamma$-convergence. - Transition de phase, approximation à la Modica-Mortola. - D'autres problèmes de calcul des variations, approfondissements.

On étudiera les problèmes d'existence et caractérisation des minimiseurs dans les problèmes d'optimisation dans des classes de fonctions, avec une attention particulière aux problèmes issus de modèles physiques ou économiques, ainsi qu'aux problèmes géométriques les plus naturels. On étudiera aussi la notion de convergence pour une suite de problèmes variationnels, Gamma-convergence, et ses exemples les plus significatifs.

G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, One-dimensional variational problems E. Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations A. Braides : Gamma-convergence for beginners.

Décembre;Janvier;Février.

ORSAY

ORSAY

Christophe Chalons Benjamin Graille.

Il s'agit d'un cours avancé dont l'objectif est de présenter quelques résultats de prolongement unique pour les solutions d'equations aux dérivées partielles linéaires.

Février;Mars;Avril.

ORSAY

François Golse.

Quentin Mérigot.

Jean-François Babadjian.

Dans un grand nombre de problèmes ayant leur origine en physique, mécanique, géologie,economie ou medecine, on souhaite resoudre des equations aux derivees partielles où apparaissent un ou plusieurs coefficients inconnus.
Dans le cours que nous presenterons nous donnerons quelques exemples de ce type de problemes et nous les etudierons d'un point de vue theorique, et quand cela est possible d'un point de vue pratique.

Février;Mars;Avril.

ORSAY

Otared Kavian.

Daniel Han-Kwan.

The theory of optimal transport has undergone great developments in the past 20 years, both because its elementary -yet very general - features and because of the connection it established between very different branches of
mathematics. We will cover some geometric applications (convex surfaces with prescribed Gaussian curvature, antenna reflector design, geometry of the Wasserstein space) and some analytical ones (Monge-Ampere equation,
Euler's equation, gradient flows in Wasserstein space). The course will also cover the discretization and numerical resolution of optimal transport problems, with some of these applications in mind.

1. C. Villani, Topics in optimal transportation, American Mathematical Society 2003. 2. C. Villani, Optimal transport. Old and new, Springer 2009. 3. L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare, Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures, Birkhauser 2008. 4. F. Santambrogio, Optimal Transport for Applied Mathematicians, Birkhauser 2015 5. C. Gutierrez, The Monge-Ampere equation, Birkhauser 2001.

Février;Mars;Avril.

ORSAY

Mathieu Léautaud.

Ce cours est une introduction a l'analyse mathématique des modèles de la théorie cinétique des gaz ou des plasmas.

Février;Mars;Avril.

PALAISEAU

Erell Jamelot Axel Modave Edouard Audit Nicolas Kielbasiewicz.

Pour la partie plasmas : Choc et instabilité hydrodynamique Propagation onde de très forte amplitude : instabilités et accélération de particules : méthodes particulaires Problèmes à N corps, équations d'état : dynamique moléculaire et méthode Monte-Carlo Cinétique d'un plasma magnétisé et interaction onde - plasma : modèle de Fokker-Planck et tracé de rayons Pour la partie astrophysique : Magnétisme dans l'Univers et effet dynamo : Taches solaires. Magnétohydrodynamique solaire. Méthodes itératives de résolution des EDP. Formation des structures cosmiques : Le modèle de Friedman-Lemaître et calcul du facteur d'échelle dans ce modèle. Implémentation de ce facteur d'échelle.

Plasmas : Modèles et méthodes de simulation sont abordées sur quatre types spécifiques de plasmas : ceux créés par lasers de puissance, dans les contextes de la fusion par confinement inertiel, d'une part, et des impulsions laser ultra intenses, d'autre part (années impaires). Les plasmas denses, typiquement à la densité du solide, intervenant dans la compréhension du coeur de cible de fusion inertielle et des coeurs d'étoile ou de planète sont présentés. Enfin les plasmas de fusion par confinement magnétique sont présentés, pour analyser le chauffage par onde et l'induction de courant au sein d'un tokamak (années paires).
Astrophysique : Projet de modélisation et simulation d'un système astrophysique. Ce projet est introduit par un cours d'une séance. Ce cours permet de présenter les concepts fondamentaux qui seront modélisés plus en détails dans le projet qui s'étale sur les 4 séances suivantes. Le but est la réalisation d'outils numériques visant à modéliser un système astrophysique particulier. Ces outils mettent en oeuvre, dans le contexte de l'astrophysique, des méthodes numériques différentes et variées.

Avoir suivi le cours du bloc 1 sur les plasmas et l'astrophysique.

J.M. Rax, Physique des tokamaks, Ecole Polytechnique 2011 B. W. Carroll & D. A. Ostlie, An introduction to modern astrophysics, Addison-Wesley 1996.

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Pierre-Gilles Lemarié Stéphane Ménozzi.

Structures de données pour la représentation de géométries discrètes (grilles régulières et triangulations);

Visualisation de champs scalaires: cartes de couleur et rendu volumique, Extraction d'ensembles de niveau, Structures d'accélération, Analyse topologique de champs scalaires;

Visualisation de champs de vecteurs: Lignes et surfaces intégrales,Convolution de lignes intégrales, Analyse topologique de champs de vecteurs;

Visualisation de champs de tenseurs: Représentation par glyphes, Hyper-lignes intégrales,Convolution d'hyper-lignes intégrales, Analyse topologique de champs de tenseurs;

Séminaire scientifique (analyse d'articles de recherche en visualisation).

La visualisation scientifique est une discipline informatique qui étudie la génération de représentations graphiques, intelligibles et interactives de données scientifiques. Ces données peuvent être issues de simulations numériques (mécanique des fluides, conception mécanique, chimie, cosmologie) ou d'acquisitions (applications médicales, sismologie, etc.).

Ce cours introduit les principales techniques de visualisation de données scientifiques représentées par des champs de scalaires, de vecteurs ou de tenseurs définis sur des domaines numériques en 2 ou 3 dimensions.
Ce cours s'adresse aux étudiants suivant par ailleurs des cours de modélisation et de simulation numérique, mathématiques appliquées, et bien sûr d'informatique graphique. De manière générale, ce cours fournit des connaissances pratiques et utiles à quiconque souhaite s'engager vers des activités de recherche et développement.

Algorithmique, complexité des algorithmiques, programmation orientée objet (C++), bases en géométrie.

Page Web du cours: http://lip6.fr/Julien.Tierny/visualizationClass.html.

Décembre;Janvier;Février.

PALAISEAU

Frédéric Rousset.

L'objet de ce cours est de donner les bases d'une de la méthode de discrétisation par volumes finis des équations aux dérivées partielles issues de la physique des milieux continus.

Septembre;Octobre;Novembre.

PALAISEAU