M2 Mathématique et Mécanique Fondamentale

Gilles Perrin, Framatome. Paolo Vannucci, UVSQ.

Cours magistraux.

Description du contenu de l'enseignement :
Dans un premier temps, on développe une vision intuitive de la rupture dans divers matériaux sur la base d’avaries industrielles. Une place dominante est réservée aux métaux.
Dans un deuxième temps, on présente les outils de la Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture.
Afin de pouvoir traiter les aspects non linéaires du comportement, dans un troisième temps on présente la théorie des charges limites comme un outil.
Cela permet, dans un quatrième temps d’exposer la théorie de la Mécanique Elasto-Plastique de la Rupture.
Après toutes ces théories die « globales » de la rupture car elles voient la pièce comme un tout, on présentera les théories plus modernes, par « Approche Locale » de la mécanique de la Rupture : rupture fragile d’une part, rupture ductile d’autre part.

MMC, algèbre tensorielle, calcul différentiel.

Mécanique de la rupture, Jean-Baptiste Leblond, Editions Hermès.

Septembre - Octobre.

VERSAILLES

Cours magistraux.

1.Rappels de thermodynamique :?Entropie, énergie libre, enthalpie libre ; Potentiel chimique ;?Fonctions thermodynamiques généralisées ; Relations de Gibbs, Gibbs-Duhem et Euler ; Second principe de la thermodynamique ; Critères d’équilibre et d’évolution d’un système ; ?
2.Equations de bilan :?Dérivée matérielle ;?Equations de bilan de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie totale et de l’entropie ; ?Bilans des énergies cinétique, potentielle et interne ; Equations de Maxwell ;
3.Théorie linéaire des processus irréversibles : Hypothèse de l’équilibre thermodynamique local ; Fonction de dissipation ;?Flux et forces généralisés ; ?Relations phénoménologiques ;?Propriétés des coefficients phénoménologiques : principe de Curie, relations d’Onsager ; ?
4.Applications :?Relations phénoménologiques d’un fluide isotrope ; Transport de chaleur ;?Diffusion de matière ;?Thermoéletricité.

1.Module ”Mécanique des milieux continus fluides” ; ? 2.Bases de la thermodynamique classique : premier et deuxième principe, gaz parfaits ; ? 3.Connaissances de base en électromagnétisme, équations de Maxwell ; ? 4.Calcul tensoriel, calcul différentiel ; ? 5.Notions de calcul différentiel ; ? 6.Résolution d’équations aux dérivées partielles simples.

1. C. Vidal, G. Dewel, P. Borckmans : Au-delà de l’équilibre. Hermann, Paris, 1994 2. B. Diu, C. Gutmann, D. Lederer, B. Roulet : Thermodynamique. Hermann, Paris, 2007 3. De Groot S. R., Mazur P. : Non-equilibrium thermodynamics. North-Holland publishing company, Amsterdam, 1962 4. Prigogine I., Chanu J. : Introduction à la thermodynamique des processus irréversibles. J. Gabay, Paris, 1996.

Septembre - Octobre.

VERSAILLES

Samuel Forest, CMEM. Jean Lerbet, UEVE.

Cours magistraux.

* Introduction : Résultats expérimentaux sur le comportement des élastomères et polymères
Procédés de mise en forme
* Cinématique et statique du milieu continu
Mesures de déformations, vitesses de déformation
Tenseurs des contraintes de Cauchy, Boussinesq, Piola et Mandel
* Formulation des lois de comportement
Tenseurs de structures
Groupe d'invariance de configuration
Tensorialité/covariance de la loi de comportement
Solides et fluides
Restrictions dues à la thermodynamique
* Viscoélasticité héréditaire
Fonctionnelle mémoire, lien avec les variables internes
Fluides différentiels
* Hyperélasticité
Potentiel d'élasticité
Comportement mécanique des élastomères (exemples : Mooney-Rivlin, Ogden...)
* Elastoplasticité
Décomposition multiplicative du gradient de la transformation due à Mandel
Lois de comportement élastoplastique anisotrope
Variables internes, écrouissage cinématique.

MMC, algèbre tensorielle, calcul différentiel.

Non-Linear Mechanics of Materials - Mécanique non linéaire des matériaux. J. Besson, G. Cailletaud, J.-L. Chaboche, S. Forest. Hermès (2003) Springer (2010) Elasticity and Plasticity of Large Deformations, A. Bertram, Springer (2012) Non-Linear Elastic Deformations, R. W. Ogden, Dover Publications (1997) Mécanique des milieux continus, S. Forest et M. Amestoy http://mms2.ensmp.fr/mmc_paris/mmc_paris.php.

Novembre - Décembre.

EVRY

Cours magistraux.

A) Généralités : Présentation des équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible.
A1) différents cadres de résolution :
* géomérie :domaine borné, domaine extérieur, domaine périodique, espace tout entier
* dimension 2 et dimension 3
* solutions classiques, solutions milds, solutions faibles, solutions « wild »
* régime laminaire, régime turbulent
A2) analyse fonctionnelle :
* espaces de Sobolev
* noyau de la chaleur, opérateur de Stokes
* projecteur de Leray
* tenseur d'Oseen
B) Le cas de l'espace tout entier : on étudiera plus précisément le cas d'un fluide emplissant tout l'espace.
* méthodes de résolution (Oseen, Fujita-Kato, Leray, Leray-Schauder) : historique et différences d 'approches
* inégalité(s) d'énergie
* problèmes d'unicité et d'explosion en temps fini
* régularité partielle.

Rudiments d'analyse fonctionnelle (intégrale de Lebesgue, opérateurs linéaires continus, convergences faible et *-faible) Rudiments de calcul différentiel et de transformation de Fourier Notions de la théorie des distributions.

Polycopié distribué.

Novembre - Décembre.

EVRY

Boris Kolev, Rodrigues Desmorat, ENS Paris-Saclay.

Cours magistraux.

Ce cours a pour objectif de formuler géométriquement la mécanique des milieux continus en grandes transformations. Il sera structuré comme suit:
L’espace des configurations en MMC
Champs de vecteurs, flots, pull-back et push-forward Dérivées de Lie, dérivées covariantes
La variété des métriques riemanniennes
Lois de conservations sur l’espace et sur le body Déformations et contraintes
Indifférence matérielle et dérivées temporelles Lois de comportement formulées sur le body.

Algèbre linéaire et tensorielle Géométrie différentielle : courbes et surfaces Analyse: différentielles, dérivées partielles, ... Notions de mécanique des fluides Élasticité linéaire.

J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, Mathematical foundations of elasticity. Dover Publications, Inc., New York, 1994. P. Rougée, An intrinsic Lagrangian statement of constitutive laws in large strain. Computers & Structures, 84(17-18) :1125–1133, 2006. B. Clarke, The metric geometry of the manifold of Riemannian metrics over a closed manifold. Calc. Var. Partial Differential Equations, 39(3- 4) :533–545, 2010. Freed, D. S. & Groisser, D., The basic geometry of the manifold of Riemannian metrics and of its quotient by the diffeomorphism group. Michigan Math. J., 1989, 36, 323-344 Gil-Medrano, O

Septembre - Octobre.

VERSAILLES

Cours magistraux et travaux dirigés.

I) Rappels très rapide de géométrie différentielle (sous-variété, submersion) et de théorie des groupes (groupes, sous groupes, action de groupes) (2h)

II) Groupes de Lie classiques : et ses sous groupes (6h)
définitions et Propriétés élémentaires
2) Théorème de Cartan-Von Neumann
3) Fonctions exponentielle et Logarithme
4) Algèbre de Lie d’un groupe de Lie et son dual
5) Application adjointe et représentation adjointe d’un groupe de Lie

III) Cas particulier des groupes des rotations et des déplacements affines (4h)

IV) Action de groupes et cinématique (6h)
1) action libre et transitive : cas du solide rigide et son espace des configurations comme espace homogène. Vitesses eulérienne et lagrangienne d’un solide.
2) Liaison entres solides. Cas des liaisons classiques représentées par des sous groupes de Lie.
3) Cas des chaines cinématiques.

V) Dynamique des systèmes de corps rigides (6h)
1) Description de l’inertie du solide. Aspects eulériens et Lagrangiens
2) Objectivité
3) Principe des puissances virtuelles pour le solide rigide
4) Systèmes de corps rigides.

-Eléments de base de la géométrie différentielle et du Calcul différentiel. -Eléments de base de la cinématique et de la Dynamique du solide rigide.

-Introduction à la Théorie des Groupes de Lie classiques, R. Mneimé- F. Testard, Coll. Méthodes, Hermann, 1986 - Introduction à la théorie des groupes de Lie réels, D. Chevallier, Coll. Mathématiques à l’Université Niveau M1-M2, Ellipses, 2006 - Multi-b.

Novembre - Décembre.

EVRY

Zhi Qiang Feng, Gaëtan Hello, Yu Cong, UEVE.

Cours magistraux.

Cet enseignement aura pour objectif de former les étudiants aux aspects tant théoriques que pratiques de la modélisation numérique des problèmes mécaniques non linéaires. L’enseignement s’articule autour des axes mécanique, numérique et logiciel associés aux méthodes de résolution numérique des différentes classes de non-linéarités rencontrées en mécanique des solides. Celles-ci incluent :
1. Les non-linéarités géométriques, dues à la disproportionnalité de la relation déplacement-déformation, par exemple, les problèmes de grands déplacements ou grandes déformations.
2. Les non-linéarités matérielles, liées aux comportements non linéaires de la relation contrainte-déformation (loi du comportement des matériaux), telles que la plasticité, la visco-élasticité, l’hyper-élasticité etc.
3. Les non-linéarités liées aux conditions limites, notamment pour les problèmes de contact.
Les étudiants acquerront des compétences à la fois en formulation mathématique de ces problèmes, et en méthodes numériques adaptées à leur résolution. Ces connaissances sont cohérentes avec une poursuite en thèse, et/ou dans un milieu de recherche et développement à haute exigence technique.

Méthode des éléments fins, algèbre matricielle, méthodes numériques de base.

• Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures de Ted Belytschko, Wing Kam Liu, Brian Moran • Nonlinear Finite Element Methods, Peter Wriggers • The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals de Olek C Zienkiewicz, Robert L Taylor, J.Z. Zhu.

Novembre - Décembre.

EVRY

Boris Desmorat, UPSAy. P. Vannucci, UVSQ.

Cours magistraux et travaux dirigés.

COURS
Problèmes et algorithmes d'optimisation de matériau/structure avec changement d'échelle
Paramétrisation covariante et loi de comportement élastique linéaire anisotrope
Invariants et changement d'échelle par homogénéisation
(Exemples des stratifiés et des treillis 2D)
Optimisation de matériaux architecturés anisotropes
(Déshomogénisation, contraintes de faisabilité)
Extension à des comportement couplés
(Coques, Piezoélectricité, Elasticité du second gradient)
Optimisation de structures : cas des matériaux élastiques linéaires anisotropes
Extension à des non-linéarités de comportement
(Comportements dissymétriques, Plasticité, Fatigue, Contact)

Exercices d’application :
Paramétrisations de l'élasticité linéaire 2D anisotrope (covariants polynomiaux, méthode polaire)
Minimisation d'une forme quadratique
Déshomogénéisation (1) : cas des stratifiés
Déshomogénéisation (2) : cas des treillis 2D
Optimisation de structures élastiques anisotropes par utilisation de l'algorithme des
directions alternées
Prise en compte de non-linéarités (1) : comportement dissymétrique
Prise en compte de non-linéarités (2) : plasticité, fatigue.

Modélisation élastique linéaire des solides déformables Loi de comportement élastique linéaire anisotrope Homogénéisation de matériaux élastiques Plaques et coques Des notions de plasticité et de fatigue sont souhaitables.

G. Allaire, Conception optimale de structures, Springer, 2007. M. Bendsøe, O. Sigmund, Topology optimization. Theory, methods, and applications, 2nd ed., 2004. J. Lemaitre, J.L. Chaboche, J.L. Benallal, R. Desmorat, Mécanique des matériaux solides, 3ème édition, 2009. P. Vannucci, Anisotropic elasticity, Springer, 2018.

Septembre - Octobre.

VERSAILLES

Samuel Forest, CMEM. Jean Lerbet, UEVE.

Cours magistraux.

* Introduction :
effets d'échelle dans le comportement des matériaux (élasticité, plasticité, rupture)
microstructures et longueurs internes/caractéristiques
* Théorie du second gradient
construction pas la méthode des puissances virtuelles
formulation des lois de comportement
cas de l'élasticité linéaire
* Milieux de Cossserat et micromorphes
construction pas la méthode des puissances virtuelles
formulation des lois de comportement
cas de l'élasticité linéaire
* Application aux phénomènes de localisation de la déformation
théorie de la plasticité à gradient
bandes de cisaillement dans les alliages métalliques
bandes de cisaillement dans les géomatériaux
épaisseur physique des bandes de localisation
* Cas des grandes déformations de milieux continus généralisés.

MMC, algèbre tensorielle, calcul différentiel.

G. Del Piero, S. Forest, P. Seppecher, Mécanique des milieux continus généralisés, Cépaduès EDITIONS, 2017. P. Germain, La méthode des puissances virtuelles en mécanique des milieux continus, première partie : théorie du second gradient, J. de Mécanique, volume 12, pp. 235-274, 1973. P. Germain, The method of virtual power in continuum mechanics. Part 2: Microstructure, SIAM J. Appl. Math., volume 25, pp. 556-575, 1973. A.C. Eringen, Microcontinuum field theories, Springer (1999) A.C. Eringen, Non local continuum field theories, Springer (2002) J. Besson, G. Cailletaud, J.-L. Chaboche, S

Novembre - Décembre.

EVRY

Cours magistraux.

Anisotropie: concepts généraux.
Anisotropie en élasticité: réprésentations cartésienne et de l'ingénieur. Bornes élastiques.
Anisotropie plane; formalisme de Lekhnitski.
Représentation par invariants: invariants polynomiaux, formalisme polaire.
Poutres anisotropes
Stratifiés anisotropes: théorie classique, méthodes de conception
Membrane et coques anisotropes.

MMC, algèbre tensorielle, modélisation des solides.

? P. Vannucci, Anisotropic elasticity, Springer, 2018.

Septembre - Octobre.

VERSAILLES

Vincent Loret.

Stage à contenu recherche en laboratoire ou dans les services recherche et développement des entreprises du secteur mécanique.

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Février - Mars - Avril - Mai - Juin - Juillet.

EVRY - VERSAILLES