LDD3 Mathématiques, Physique

Maîtriser les outils mathématiques permettant de traiter un grand nombre de problèmes du domaine des probabilités.

• axiomes des probabilités
• variables aléatoires réelles, caractérisations de leurs lois par la fonction de répartition, définition des variables aléatoires discrètes et à densité
• lois de probabilités usuelles : Bernoulli, binomiale, binomiale négative géométrique, Poisson, uniforme, gaussienne, exponentielle, gamma, Cauchy…
• transformations de variables aléatoires par la méthode de la fonction muette
• simulation par inversion de la fonction de répartitition
• espérance, variance, moments
• couples et vecteurs aléatoires, indépendance et corrélation
• suites de variables aléatoires et convergences
• loi des grands nombres, théorème central limite
• vecteurs gaussiens

Acquérir les outils mathématiques d’analyse numérique matricielle notamment les différents algorithmes de décompositions de matrices, les méthodes de résolution de systèmes linéaires et de problèmes aux valeurs propres.

Différentes méthodes de résolution de systèmes linéaires seront étudiées : les méthodes directes par décomposition LU et QR, les méthodes itératives de type Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation. Différentes méthodes de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres seront également étudiées, notamment dans le cas particulier des matrices symétriques. La notion de conditionnement sera évoquée afin de comprendre le comportement des erreurs numériques. Toutes ces notions seront appliquées en particulier à la matrice obtenue par discrétisation de l’opérateur Laplacien en dimension un par la méthode des différences finies.

Manipuler les fonctions de plusieurs variables, comprendre la notion de différentielle, connaître et comprendre les théorèmes fondamentaux (inversion locale, fonctions implicites), acquérir les outils de base pour l’étude de problèmes d’optimisation.

• Fonctions d’une variable : dérivabilité, égalité des accroissements finis, courbes paramétrées.
• Espace vectoriel normé : norme et produit scalaire ; distance, ouverts et fermés ; convergence des suites, continuité des fonctions ; compacité, équivalence des normes dans R^n.
• Différentiabilité des fonctions de R^n dans R^p ; dérivées partielles, jacobiennes ; différentielles des fonctions composées ; théorèmes des accroissements finis, fonctions C^1 ;
• Théorème d’inversion locale ; Théorème des fonctions implicites ; Hypersurface de R^n ;
• Différentielles et dérivées partielles d’ordre supérieur ; fonctions C^k ; matrice hessienne ; formule de Taylor ;
• Extremums des fonctions de R^n dans R ; condition nécessaire et suffisante d’extremum ; cas des fonctions convexes ; extremums liés et multiplicateurs de Lagrange.

Maîtriser la notion d’intégrabilité ainsi que les propriétés de l’intégrale de Lebesgue. Savoir appliquer les grands théorèmes de l’intégrale de Lebesgue (convergence monotone et dominée, intégrale à paramètre, Fubini, changement de variable).

Rappels sur l’intégrale de Riemann et les limites de suites de fonctions. Intégrale de Lebesgue sur R, théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée, exemples de fonctions intégrables, intégrales dépendant d'un paramètre. Intégrale de Lebesgue sur R^d (généralisation de la construction précédente), théorème de Fubini, changement de variable. Espaces L¹ et L². Présentation de la convolution et de la transformée de Fourier sur L¹.

Les bases sur les structures algébriques: groupes, anneaux.

- Phénomènes Quantiques - Principes, Postulats et Mesures en Mécanique Quantique - Formulation Générale de la Mécanique Quantique - Symétries - Moment cinétique angulaire - Moment cinétique de Spin et Résonance Magnétique

- Propriétés du champ électromagnétique : Energie, impulsion et moment cinétique du champ - Milieux diélectriques et des milieux magnétiques : Etude microscopique et macroscopique des divers types de milieux - Induction électromagnétique : Théorie de l’induction électromagnétique, lien avec la relativité - Propagation : Propagation libre dans le vide et dans les milieux diélectriques, propagation guidée - Systèmes rayonnants : Rayonnement d’une source oscillante

Cet enseignement part des équations de Maxwell et aborde les points suivants : - Propriétés du champ électromagnétique : Energie, impulsion et moment cinétique du champ - Milieux diélectriques et des milieux magnétiques : Etude microscopique et macroscopique des divers types de milieux - Induction électromagnétique : Théorie de l’induction électromagnétique, lien avec la relativité - Propagation : Propagation libre dans le vide et dans les milieux diélectriques, propagation guidée - Systèmes rayonnants : Rayonnement d’une source oscillante

Ensemble canonique : description semi-classique des gaz, thermodynamique des oscillateurs harmoniques. Ensemble grand-canonique et les statistiques quantiques, thermodynamique des métaux,condensation de Bose-Einstein.

La présentation de l'ensemble canonique fournit l'occasion de discuter plusieurs illustrations de manière détaillée : description semi-classique des gaz, puis thermodynamique des oscillateurs harmoniques (vibration des corps solides et rayonnement du corps noir). Enfin, la dernière partie du cours présente l'ensemble grand-canonique et les statistiques quantiques, avec des illustrations aussi importantes que la thermodynamique des métaux ou le phénomène de condensation de Bose-Einstein.

Il est indispensable d’avoir suivi « Physique Statistique I » pour pouvoir suivre ce module

L’objectif de ce cours est d’offrir une solide introduction aux outils et concepts de la mécanique lagrangienne et hamiltonienne.

Le formalisme newtonien constitue la formulation la plus répandue des lois de la mécanique, il s'articule autour des concepts de force et de couple. Une formulation lagrangienne est bien adaptée aux problèmes où certains degrés de liberté sont contraints, ainsi qu'aux systèmes possédant des symétries. La formulation hamiltonienne est, quant à elle, particulièrement bien adaptée à l'étude des mouvements possédant des échelles de temps rapides et lentes tels que les mouvements multiplement périodiques. Ce formalisme permet aussi la construction d'une théorie de perturbations remarquablement efficace et permet de modéliser différemment la dynamique d'un système.

Les formalismes lagrangien et hamiltonien constituent donc la superstructure conceptuelle de la physique moderne.

Attendus de l'UE Langue-Anglais4 : Niveau B2+/C1 dans les 5 compétences linguistiques.

ANGLAIS DE SPÉCIALITÉ. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais3 et le travail sur la langue de spécialité (scientifique et/ou à visée professionnelle) : on prolongera l'approche actionnelle dans les 5 compétences et on s'attachera à la préparation de l'étudiant aux différentes tâches liées à son activité scientifique telles que la rédaction d'un compte rendu d'expérience, le commentaire d'un graphique, la desciption d'un processus mais aussi à son insertion dans le monde professionnel : rédaction d'un CV ou d'une lettre de motivation en vue d'un stage... On proposera une initiation au débat ainsi qu'un entraînement à la certification CLES 2. Le travail se fera par groupes de niveau.

Comprendre ce qu’est une EDO et savoir représenter les champs de vecteurs, portraits de phase et les solutions pour différentes données et paramètres. Comprendre et savoir appliquer les principaux résultats d’analyse concernant l’existence, l’unicité et la régularité des solutions. Maîtriser les outils permettant de résoudre exactement les edo linéaires et à variables séparées. Maîtriser les outils d’analyse numérique et de calcul scientifique pour résoudre numériquement une edo et étudier les propriétés de convergence de la solution approchée vers la solution exacte.

Pré-requis : Topologie de R^N, compacité, application contractante, intégration numérique.

Théorie des Equations différentielles ordinaires (EDO). EDO du premier ordre linéaire et à variables séparées. EDO d’ordre supérieur et systèmes d’EDO. Théorème de Cauchy-Lipschitz, Théorème des bouts, Continuité de la solution vis-à-vis des paramètres. Exercices sur des résolutions d’EDO, calcul de temps d’existence, propriétés des solutions. Schémas numériques pour les EDOs : étude des méthodes à un pas, notion de convergence (consistance, stabilité et convergence, ordre des schémas). Travaux dirigés sur ordinateurs avec programmation en python.

L'UE s'appelle "Traitement du signal: approche mathématique" On présente les bases mathématiques du traitement du signal.