LDD2 Mathématiques, Physique et Applications

- Approfondir les notions d’analyse, en particulier se familiariser avec les séries numériques et les intégrales généralisées, être capable de trouver les extrema locaux de fonctions de 2 ou 3 variables, être capable de trouver la régularité d’une fonction de plusieurs variables. - Approfondir les notions d’algèbre linéaire, et en particulier être capable de reconnaître si une matrice est diagonalisable ou pas et le cas échéant être capable de la diagonaliser.

I -

Analyse (7,5 semaines)

• Séries numériques (2 semaines) : - Définition, convergence, divergence, somme, - Séries à termes positifs et critères de convergence : critères de comparaison, critères de d'Alembert, de Cauchy, séries de Riemann, comparaison série/intégrale - Convergence absolue - Séries alternées

• Intégrales généralisées (1,5 semaines) - Définition, convergence, convergence absolue - Critères de convergence pour les fonctions positives

• Calcul différentiel pour les fonctions à plusieurs variables (2,5 semaines) - Continuité - Dérivées partielles d'ordre 1, différentiabilité, classe C1 , opérations sur les fonctions différentiables (dont la composition) - Matrice jacobienne, gradient - Dérivées partielles d'ordre 2, théorème de Schwarz, classe C2, matrices hessiennes - Formule de Taylor à l'ordre 1 et 2 pour des fonctions de 2 variables - Extrema locaux de fonctions de deux variables : condition nécessaire d'ordre 1, condition suffisante d'ordre 2

• Intégrales surfaciques et volumiques de fonctions (1,5 semaines)

II - Algèbre linéaire (4,5 semaines)

• Déterminant d’une matrice, d’un endomorphisme : - Introduction des déterminants dans R3 par le produit mixte - Forme multilinéaire alternée - Définition par récurrence sur la dimension : développement selon une ligne ou une colonne. - Méthodes de calcul - Applications : déterminant d'une matrice inversible, calculs de l'inverse d'une matrice

• Diagonalisation des endomorphismes : - Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique - CNS de diagonalisation - Applications à la puissance de matrices, aux systèmes différentiels, aux équations différentielles d'ordre n, aux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (et éventuellement d'ordre n), Intérêt géométrique (rotations, symétries, projections) - Notion de trigonalisation d’une matrice sur des exemples

Responsable : Christine Poirier

Avoir suivi les Ue de Analyse 1 et Algèbre 1. L’Ue Mathématiques fondamentales est vivement recommandée.

Semestre 3 (septembre à janvier) sur le site de Versailles

- Analyse 1ère année, Analyse 2ème année, algèbre 1ère année, algèbre et géométrie 2ème année, F. Liret, D.Martinais, aux éditions Dunod. - Mathématiques, tout-en-un pour la licence (niveau L1 et L2) sous la direction de J.P. Ramis et André Warusfel, éditions Dunod.

1/3 CM en amphi 2/3 Td par groupe de 32 étudiants contrôle continu et examen final

- Notions de base sur les systèmes d'équations différentielles - Géométrie différentielle, - Intégrales doubles et triples.

- Analyse 1 ; - Mathématiques Générales EN10433

Semestre 3 (septembre à janvier), site de Versailles

Notes de cours de Christophe Chalons : https://chalons.perso.math.cnrs.fr/ (onglet lectures notes, puis "aspects différentiels)

1/3 cours, 2/3 TD, contrôle continu et examen final

- soir manipuler, dériver, intégrer des fonctions définies par des suites, séries ou intégrales -comprendre et manipuler la convergence uniforme et la convergence simple - maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques - concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse - expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques

Contenu :

- Suites et se´ries de fonctions - Convergence uniforme et normale - Crite`re de continuite´, de de´rivabilite´, de passage a` la limite sous le signe inte´gral - The´ore`me de Weierstass sur l’approximation par des polyno^mes - Inte´grales (propres ou impropres) de´pendant de parame`tres - Crite`re de continuite´ et de´rivabilité - Se´rie de Fourier - The´ore`me d’unicite´ - The´ore`me de convergence de Dirichlet - Approximation uniforme par des polyno^mes trigonome´triques - En exercice, Transformation de Fourier, de Laplace, résolution d’équations des ondes, de la chaleur, de Schrödinger par des séries de Fourier

Responsable : Jean Pian

Analyse 1, Mathématiques Générales de semestre 3; Mathématiques Fondamentales est recommandé.

Semestre 4 (janvier à mai) sur le site de Versailles

Le contenu du cours est classique et traité dans tous les ouvrages de L2 Mathématiques. On pourra aussi consulter les ouvrages destinés aux classes préparatoires (MP ou PC-PSI). Par exemple :

- Daniel Guinin, Bernard Joppin, Précis d’Analyse PC, Bréal.

- Jean-Pierre Marco, PhilippeThieullen, Jacques-Arthur Weil (avec la collaboration de Joël Benoist, Has-san Boualem, Robert Brouzet, Alexandre Cabot, Marie-Line Chabanol, Jacques Féjoz, Laurent Lazzarini, Roger Manguy, Laurent Mesnager, Silhem Mesnager, Denis Pennequin, Pierre Wassef, Alain Yger, Mohammed Zarrabi) : Mathématiques L2, Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés, Pearson Education, 2010, ISBN 978-2-7440-7225-3.

1/3 cours, 2/3 TD, contrôle continu et examen final

- comprendre et savoir utiliser des concepts algébriques - maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques - concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse - expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques

Eléments sur les groupes. Etude des groupes abéliens finis. Eléments d’algèbre bilinéaire en dimensionfinie. Réduction des endomorphismes.

Contenu : - Structure de groupe - Sous-groupe engendré - Groupes cycliques - L’anneauZ/nZ - Quotient d’un groupe abélien par un sous-groupe - Décomposition des groupes abéliens finis en facteurs invariants - Décomposition des groupes abéliens finis en composantes primaires - Dualité en dimension finie - Formes bilinéaires - Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques - Noyau et rang d’une forme quadratique - Algorithme de Gauss pour les formes quadratiques - Signature d’une forme quadratique réelle - Polynômes d’endomorphismes - Sous-espaces caractéristiques d’un endomorphisme - Décomposition D+N lorsque le polynôme caractéristique est scindé

Responsable : Nicolas Pouyanne

Algèbre 1, Mathématiques Générales du semestre 3

Semestre 4 (janvier à mai) sur le site de Versailles

Tout livre de premier cycle universitaire sur le sujet, par exemple la première et la dernière référence ci-dessous. - Guy Auliac, Jean Delcourt, Rémy Goblot : Mathématiques. Algèbre et géométrie, éditions Ediscience - Serge Lang : Algebra, éditions Addison Wesley. Une référence générale pour l’algèbre, trop complète pour le cadre de cette U.E. - Lionel Schwartz : Mathématiques pour la licence. Algèbre, éditions Dunod

1/3 CM, 2/3 TD, contrôle continu et examen final.

Analyser le mouvement d'un point matériel dans un référentiel en mouvement et/ou non Galiléen. Comprendre la notion de relativité du mouvement. Comprendre la notion de force d'inertie.

• Définir un référentiel non galiléen
• Décrire le mouvement d'un point matériel dans un référentiel en mouvement par rapport à un autre et dans un référentiel non Galiléen
• Calculer la vitesse et l'accélération d'un point dans divers types de référentiels
• Exprimer les forces d'entrainement et de Coriolis.

• mécanique céleste (problèmes à 2 corps)
• référentiels non-galiléens : forces d'inertie d'entrainement, de Coriolis
• cinématique sphérique
• notions de relativité

Cette UE a pour objectif d'initier les étudiants à des notions élémentaires d'électrostatique et de magnétostatique afin de pouvoir explorer l'électromagnétisme qui sera abordé au semestre suivant. Il s'agit d'avoir une approche descriptive du champ électrique et du champ magnétique dans une situation stationnaire. Différentes notions y sont abordées, allant du calcul des champs électrique et magnétique, à l’application des lois de Gauss, Faraday, Ampère, Biot et Savard.

• Comprendre la notion de champ électrique créé par un ensemble de charges ponctuelles et maitriser son calcul
• Comprendre le théorème de Gauss et le démontrer dans le cadre d'un exercice guidé
• Connaitre le théorème de Gauss sous sa forme intégrale et savoir l'appliquer
• Comprendre la circulation du champ électrique et de sa relation avec le potentiel électrique
• Identifier les symétries sur le potentiel, la distribution de charges
• Enoncer les propriétés du champ électrique en cas de symétrie et d'invariances, et simplifier la modélisation mathématique en conséquence
• Déterminer le potentiel créer par une distribution de charge ponctuelles, une distribution continue de charge (sur une courbe, une surface, un volume)
• Savoir expliquer les propriétés d'un conducteur parfait en équilibre électrostatique
• Maitriser les calculs des propriétés d'un condensateur plan, cylindrique, sphérique et déterminer la capacité
• Connaitre et savoir appliquer la loi de Biot et Savard
• Identifier les symétries et invariances des distributions de courant et déterminer les conséquences sur le champ magnétique et sur la méthode de calcul
• Décrire les propriétés du champ magnétique en cas de symétries et d'invariances
• Connaitre et savoir utiliser le théorème d'Ampère sous sa forme intégrale, savoir l'appliquer aux cas simples : solénoïde, fil infini, câble coaxial

• Electrostatique

Force de Coulomb Champ électrique Champ créé par une charge ponctuelle Champ crée par une distribution de charges ponctuelles Distribution continue Potentiel électrique Propriétés du champ et potentiel électrique Champ conservatif Circulation du champ Lignes de champ Invariances et symétries Calcul du champ électrique pour différentes distributions Théorème de Gauss Dipôle électrostatique  

• Magnétostatique

Force, champ et potentiel magnétique Propriétés du champ magnétique Exemple de calculs Théorème d'Ampère

L'objectif est d'introduire un certain nombre de fonctions de bases de l'électronique pour que l’étudiant dépasse l’approche par composants. Cet aspect permettra de préparer le module Capteurs et mesures pour la physique. Le cours sera illustré par des exemples d'utilisation de l'électronique de la vie courante

• Analyser un montage électronique par blocs fonctionnels,
• Analyser les blocs fonctionnels par une approche « composants ».

• Rappels d’électrocinétique et nouvelles notions

Les composants de base (R, L et C). Régime harmonique et impédances complexes. Les filtres RC, RL et les diagrammes de Bode. Etude du régime transitoire et du régime permanent d’un montage électronique. Puissance apparente et puissance complexe en régime harmonique Adaptation en puissance Analyse des quadripôles à l’aide des paramètres impédance

• L’électronique par blocs fonctionnels

Introduction aux différents blocs fonctionnels : Convertir l’énergie – Alimenter – Amplifier – Interfacer – Numériser - Filtrer. Exemples de montages et étude des blocs fonctionnels. L’amplification comme un bloc fonctionnel Le filtrage comme un bloc fonctionnel : filtres passe-bande / coupe-bande / passe-bas et passe-haut.

• Composants non linéaires – Exemple de la diode (2h)

Introduction sur la non-linéarité. La diode à jonction PN. Caractéristique Courant / Tension de la diode – Formule de Shockley. Modélisation d’une diode – Linéarisation par morceaux. La diode en régime dynamique – Linéarisation pour les petits signaux. Application des diodes en régime de commutation - Conversion du courant alternatif en continu – Le redressement simple et double alternance.

• Étude d’un composant actif : l’amplificateur opérationnel

Caractéristiques d’un amplificateur opérationnel. L’amplificateur opérationnel parfait en régime linéaire et contre-réaction. Utilisation de l’entrée non inverseuse. Utilisation de l’entrée inverseuse. L’amplificateur opérationnel en régime de saturation

• Filtres actifs.

Générateur de fonctions

Comprendre la propagation d'une onde électromagnétique dans le vide et dans un milieu matériel (diélectrique, conducteur...). Trouver l'équation de propagation d'une onde à partir des équations de Maxwell et retrouver la forme du champ électrique dans le vide ou dans le milieu matériel. Savoir trouver la relation de dispersion du milieu. Définir l'indice d'un milieu.

• Déterminer l'équation de propagation d'une onde à partir des équations de Maxwell en fonction des caractéristiques du milieu de propagation.
• De déduire l'expression du champ électrique et les caractéristiques de la propagation (vitesse de l'onde, absorption...) dans ce milieu.
• Savoir déterminer les champs électromoteurs d’induction pour calculer la force électromotrice et le courant induit dans un circuit et savoir les retrouver par la loi de Faraday.
• Savoir interpréter le sens du courant induit par la loi de Lenz.

• Induction
• Equations de maxwell
• Notion de polarisation électrique, définition des courant liés à la polarisation électrique et des courants liés aux charges libres d'un milieu
• Equation de propagation dans le vide et dans un milieu matériel (conducteur ou diélectrique)
• Résolution de l'équation de propagation
• Expression du champ électrique dans le vide et dans un milieu matériel
• Relation de dispersion
• Définition la constante diélectrique et de l'indice d'un milieu

- Pouvoir mettre en équation un problème de dynamique des solides, dynamique des systèmes multi-corps. L'accent sera mis sur le lien entre les différents torseurs présentés ainsi que leur utilisation (e.g. calcul de l'énergie cinétique d'un système) - Savoir appliquer différents principes pour établir les équations de la dynamique.

• Liaisons
• Cinématique des points et des vecteurs, cinématique des solides, composition des mouvements
• Cinétique: géométrie des masses
• Torseurs (statique, cinématique, cinétique, dynamique)
• Principe fondamental de la dynamique
• Energie, puissance, travail
• Théorème de l'énergie cinétique

Programmation de méthodes de résolution d'équations non linéaires (méthodes de dichotomie, sécante, Newton) Programmation de méthodes de calcul d'intégrales (rectangles, Simpson, ...) Programmation de méthodes de résolution de systèmes d'équations différentielles (Euler, Runge-Kutta, ...) Capacité à choisir les paramètres d'entrée des fonctions et à les ajuster aux besoins Capacité à pouvoir critiquer / commenter la qualité du résultat obtenu, en maitrisant les limites des différentes méthodes. Compétences de base de programmation en calcul scientifique (Python ou Scilab/Octave)

L1 de mathématiques Compétences de base en informatique (ouvrir une session de travail, enregistrer des fichiers, etc.)

Semestre 3 (septembre à janvier), surle site de Versailles

De nombreurx ouvrages sont disponibles à la bibliothèque universitaire sur l’ensemble des notions enseignées. On peut conseiller par exemple : - - Analyse 1ère année, Analyse 2ème année, algèbre 1ère année, algèbre et géométrie 2ème année, F. Liret, D.Martinais, aux éditions Dunod.Mathématiques, tout-en-un pour la licence (niveau L1 et L2) sous la direction de J.P. Ramis et André Wa-rusfel, éditions Dunod.

Cours/TP d'informatique, contrôle continu et examen final.

Dans un premier temps, présentation d'un langage et de ses spécificités (cours) et apprentissage du langage par l’intermédiaire d'exercices simples (TD). Dans un second temps, initiation à la programmation (TP) par l'intermédiaire de problèmes plus longs traitant de sujets d'algorithmique/méthodes numériques variés (pouvant aller de la représentation des nombres, au calcul de surfaces en passant par le tri de listes).

• Lire un programme simple et comprendre ce qu'il fait.
• Pouvoir écrire un programme simple à partir d'un algorithme fourni.
• Comprendre un message d'erreur (compilateur/interpréteur).
• Retrouver une erreur dans un programme.
• Compléter/modifier un programme simple pour réaliser une tache prédéfinie.
• Se familiariser à la notion d'algorithme.
• Décomposer une tache en opérations élémentaires réalisables par un ordinateur.
• A partir d'un problème numérique simple, comprendre les taches que l'ordinateur devra réaliser pour trouver une solution à ce problème.

• Présentation du langage informatique utilisé dans le module (Python3 préconisé).
• Introduction des types numériques (flottant, entier et types associés) ainsi que les opérateurs, fonctions et/ou méthodes associés.
• Introduction aux tests et aux boucles
• Introduction aux structures de données complexes (qui seront utilisés dans le module) ainsi que les opérateurs, fonctions et/ou méthodes associés. (A priori, il faudra au minimum, introduire une structure du type liste/tableau ou équivalents ainsi que les chaînes de caractères.)
• Notion de fonction
• Introduction (par l'intermédiaire des travaux pratiques) de modules/bibliothèques qui pourront être utilisées pour les méthodes numériques

Compréhension écrite et orale de l’anglais scientifique

• Capacité à communiquer par oral et par écrit, de manière rigoureuse et adaptée en anglais.
• Une aptitude à se documenter dans au moins une langue étrangère, prioritairement anglaise et une capacité à l’écrire et à la parler à un niveau B.

• Communication par oral et par écrit, de manière rigoureuse et adaptée en anglais
• Documentation en anglais
• Ecrire et parler à un niveau B.