LDD1 Mathématiques, Physique

Descriptif du cours. — Le programme du cours comporte les parties suivantes

• Approche axiomatique des nombres re´els : ope´rations, ordre, axiome d’Archime`de et densite´ des rationnels, comple´tude et nombres irrationnels.
• Ge´ne´ralite´s et rappels sur les fonctions : de´finitions usuelles, injectivite´, surjectivite´ et monotonie d’une fonction ; re´vision des fonctions trigonome´triques, logarithmiques et exponentielles ;
• Limite d’une fonction en un point adhe´rent a` son domaine de de´finition (de´finition, re`gles de calcul, the´ore`me des gendarmes ; cas des limites infinies) ; limite d’une fonction a` l’infini.
• Les suites et leurs limites ; proprie´te´ de Bolzano-Weierstrass ; suites monotones.
• Continuite´ : de´finition, prolongements par continuite´, the´ore`me de Bolzano et proprie´te´ de valeur interme´diaire ; the´ore`me des bornes atteintes.
• De´rivabilite´:de´finition,re`glesdecalcul,applicationsaux extrema(proprie´te´deFermat,convexite´ et croissance de la de´rive´e, ro^le de la de´rive´e seconde).

Attendus. — On attend des e´tudiant.e.s qu’ils puissent de´terminer l’existence et la valeur d’une limite de fonction, d’un nombre ou d’une fonction de´rive´(e) pour des fonctions exprime´es analytiquement a` l’aide de fonctions usuelles. Au-dela`, on attend aussi qu’elle.il.s puissent suivre les e´tapes de de´mons- trations guide´es d’analyse re´elle, formule´es sous forme de proble`mes. La capacite´ a` restituer l’e´nonce´ des de´finitions et the´ore`mes du cours et de connai^tre la de´monstration d’une partie de ces derniers, est e´galement attendue au partiel et a` l’examen.

Descriptif du cours. — Le programme du cours comporte les chapitres suivants : 1. logique et raisonnements ; 2. ensembles et applications ; 3. relations sur un ensemble ; 4. arithme´tique; 5. nombres complexes ; 6. polyno^mes; 7. bino^me de Newton ; 8. ge´ome´trie dans le plan et dans l’espace.

Attendus. — Mai^trise des notions du cours et mise en pratique dans les exercices.

Descriptif du cours. — Le programme du cours est le suivant. 1. Bijections re´ciproques :

– the´ore`me de la bijection ;

– proprie´te´s de la bijection re´ciproques ; – fonctions trigonome´triques re´ciproques. 2. Inte´gration :

– primitives;

– inte´gration par parties ;

– changement de variables ;

– sommes de Riemann et inte´grale de Riemann. 3. Formules de Taylor :

– formule et ine´galite´ de Taylor-Lagrange ; – notations asymptotiques o et ~ ;

– formule de Taylor-Young. 4. De´veloppements limite´s : – ge´ne´ralite´s;

– ope´rations;

– applications : calculs de limites, de tangentes, d’asymptotes. 5. E´quations diffe´rentielles line´aires :

– ordre 1, avec ou sans second membre ; variation de la constante ;

– ordre 2 a` coefficients constants, avec ou sans second membre ;

– a` variables se´parables.

Attendus. —

• Bijections re´ciproques. Savoir re´soudre des e´quations e´le´mentaires a` partir de fonctions usuelles pour discuter le caracte`re injectif/surjectif/bijectif. Lire les proprie´te´s d’injectivite´, surjectivite´, bijectivite´, d’une fonction a` partir de son graphe. De´terminer si une fonction est bijective a` l’aide de l’e´tude de sa de´rive´e. Tracer le graphe de la re´ciproque a` partir du graphe de la fonction.
• Inte´gration. Calculer une inte´grale a` l’aide des primitives. De´terminer une primitive d’une fonc- tion de´finie a` l’aide fonctions usuelles a` partir de la formule d’inte´gration par parties ou de change- ments de variables. De´velopper en e´le´ments simples une fraction rationnelle dont le de´nominateur est scinde´ a` racines simples. Utiliser le the´ore`me des sommes de Riemann pour calculer la limite de certaines suites.
• Formules de Taylor. De´montrer une ine´galite´ ou un encadrement a` l’aide d’une formule de Taylor- Lagrange. Appliquer la formule de Taylor-Young. Utiliser les notations o et ~.
• De´veloppements limite´s. Calculer un de´veloppement limite´ de fonctions de´finies a` partir de fonc- tions usuelles a` l’aide de de´veloppements limite´s connus et des ope´rations e´le´mentaires sur les de´veloppements limite´s. Lever une forme inde´termine´e a` l’aide des de´veloppements limite´s. De´- terminer la position relative de la tangente au graphe d’une fonction, ou d’une asymptote, a` l’aide des de´veloppements limite´s.
• E´quations diffe´rentielles line´aires. Re´soudre une e´quation diffe´rentielle line´aire scalaire d’ordre 1 sans second membre. Re´soudre une e´quation diffe´rentielle line´aire scalaire d’ordre 1 avec second membre, a` l’aide de la me´thode de la variation de la constante. Re´soudre une e´quation diffe´rentielle line´aire scalaire d’ordre 2 a` coefficients constants sans second membre. Re´soudre une e´quation diffe´rentielle a` variables se´parables.

Descriptif du cours. — Le programme du cours comporte les chapitres suivants : 1. Syste`mes line´aires 2. Espaces vectoriels 3. Matrices 4. Applications line´aires

Attendus. — Au terme de ce cours, les e´tudiants devront savoir re´soudre un syste`me d’e´quations li- ne´aires avec la me´thode du pivot. Ils devront savoir utiliser cette compe´tence pour re´pondre a` des questions abstraites formule´es dans des espaces vectoriels. D’autre part, les e´tudiants devront savoir utiliser des matrices dans le cadre des syste`mes d’e´quations line´aires. Ils devront savoir les utiliser pour de´crire des applications line´aires et re´pondre a` des questions abstraites les concernant.

• Savoir estimer des incertitudes de mesures, les propager à d’autres variables, exploiter graphiquement les incertitudes, et écrire un résultat avec son incertitude.
• Savoir rédiger un compte-rendu de TP
• Réaliser un alignement optique
• Réaliser l’image d’une fente ou d’un autre objet réel grâce à une lentille convergente
• Connaître le vocabulaire lié à l’optique géométrique
• Tracer la propagation d’un rayon lorsqu’il rencontre un dioptre
• Construire l’image d’un objet formée par un miroir plan, un miroir sphérique ou une lentille
• Utiliser et appliquer les lois de Snell-Descartes et les relations de conjugaison des miroirs sphériques, dioptres sphériques et lentilles minces
• Déterminer la distance focale d’une lentille (méthode par autocollimation notamment)
• Comprendre le fonctionnement de l’œil humain (accommodation, défauts de la vision)
• Décrire et expliquer quelle couleur sera perçue en fonction de la couleur d’un objet et de la lumière qui l’éclaire
• Tracer l’allure d’un spectre dans le visible (d’émission, de transmission ou de réflexion)
• Utiliser un prisme pour disperser et obtenir le spectre d’une lumière polychromatique

1. Mesure physique et traitement des incertitudes (1 cours-TD) - erreurs systématiques et aléatoires, incertitudes absolue et relative - estimation des incertitudes à partir des mesures - propagation des incertitudes d’une variable à une autre - modélisation et détermination de paramètres avec leurs incertitudes

2. Les bases de l'optique géométrique (1 Cours-TP, 1 cours-TD) - lois de Snell-Descartes, réflexion totale, minimum de déviation par un prisme - applications : fibres optiques, mirages - Mesures de l’indice de réfraction d’un matériau par 3 méthodes différentes

3. Images optiques (1 cours-TP, 1 TD) - images et stigmatisme, images et objets réels et virtuels - miroirs & dioptres plans et sphériques - stigmatisme rigoureux et approché, conditions de Gauss - relations de conjugaison des miroirs et des dioptres sphériques

4. Lentilles, oeil (2 cours-TP, 2 TD) - mesure de distances focales par plusieurs méthodes - relation de conjugaison des lentilles minces - anatomie et fonctionnement de oeil - les corrections de la vision - lentilles accolées et non accolées - le téléobjectif

5. Spectroscopie et couleurs (1 cours-TP, 1 TD) - décomposition de la lumière blanche par un prisme - interprétation à partir des lois de Snell-Descartes, arc-en-ciel - Spectroscopie : analyse qualitative et quantitative de spectres d’émission et d’absorption de raies (prisme, filtres, spectrophotomètre) - Couleurs des objets, synthèses additive et soustractive

Connaître le vocabulaire propre à la cinématique et la mécanique. Mettre en équation des problèmes simples de mécanique du point à 1 ou 2 dimension d'espace, en coordonnées cartésiennes, par application du principe fondamental de la dynamique. Utiliser le théorème de conservation de l'énergie mécanique pour résoudre des problèmes simples de mécanique. Maîtriser les outils mathématiques : trigonométrie, calcul vectoriel, intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants du 1er et 2nd ordre, représentation des fonctions élémentaires.

1. Introduction (1h) La mécanique classique dans les théories physiques. Dimensions, unités.

2. Cinématique (4h) Vecteurs position, vitesse et accélération en composantes cartésiennes uniquement. Changement de référentiel en translation uniquement.

3. Principe fondamental de la dynamique (5h) Notion de forces : Gravitation, élastique, frottements solide et visqueux. Enoncé du principe sous sa forme vectoriel la plus générale. Applications aux systèmes 1D ou 2D en coordonnées cartésiennes uniquement. Chute d’un corps à la surface de la Terre, libre, avec frottement, projectile, plan incliné. Oscillations libres. Principe de relativité de Galilée (2h). Notion de référentiels Galiléens. Dynamique et changement de référentiel galiléen. Principe de relativité.

5. Energie (6h) Travail d'une force sur un chemin rectiligne uniquement, mais avec une force qui peut dépendre de la position. Théorème de l'énergie cinétique Forces conservatives, énergie potentielle, théorème de l’énergie mécanique, conservation de l'énergie mécanique. Equilibre et stabilité, oscillation dans le voisinage d’une position d’équilibre stable.

6. Système à deux corps (4h) Mouvement du centre de masse et mouvement relatif. Masse réduite. Conservation de la quantité de mouvement. Référentiel du centre de masse. Chocs élastiques et non élastiques.

Connaître le vocabulaire précis utilisé en thermodynamique Connaître l'énoncé du 1er principe de la thermodynamique Savoir calculer les échanges de chaleur et de travail pour des transformations réversibles mettant en jeu des forces de pression, en particulier dans le cas des gaz parfaits. Savoir résoudre des problèmes simples de calorimétrie (sans changement d'état).

• Gaz parfaits : énergie interne, pression, température, équation d'état, gaz parfaits polyatomiques.
• 1er principe de la thermodynamique (syst. fermé) : fonctions d'état, énergie interne d'un système, échanges de chaleur, différentes formes de travail.
• Echanges de chaleur et de travail dans les transformations isotherme, adiabatique, isobare (enthalpie) et isochore.
• Capacité thermique et notions de calorimétrie.

2 tps de thermodynamique (calorimétrie, gaz parfaits), comptabilisés dans l'UE d'enseignements expérimentaux, viennent compléter cet enseignement théorique.

• Savoir estimer des incertitudes de mesures, les propager à d’autres variables, exploiter graphiquement les incertitudes, et écrire un résultat avec son incertitude.
• Savoir rédiger un compte-rendu de TP
• Savoir effectuer correctement des mesures de garndeurs physiques variées (champ magnétique, capacité calorifique, température, ...)
• Mettre en oeuvre un dispositif expérimental pour vérifier des lois théoriques de la physique (principe fondamental de la physique, conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, lois des gaz parfaits)

• Savoir calculer le potentiel et le champ électrostatique d’une distribution discrète de charges.
• Savoir procéder à l’analyse des symétries d’un problème d’électrostatique
• Savoir tracer les lignes de champs et les surfaces équipotentielles de systèmes chargés.
• Savoir appliquer le théorème de Gauss et le théorème d’Ampère dans des situations simples.

• Forces et champs électriques : loi de Coulomb et forces électriques, distributions de charges discrètes et continues, champ électrique créé par une charge et par un ensemble de charges, lignes de champs, symétries du champ électrostatique.
• Energie potentielle et potentiel électrostatique : travail de la force électrostatique et énergie potentielle associée. Potentiel créé par une charge et par un ensemble de charges. Relation champ/potentiel, circulation et potentiel électrostatique, surface équipotentielle. Energie électrostatique d’un ensemble de charges.
• Dipôle électrostatique : potentiel et champ électrostatique à grande distance, dipôle dans un champ extérieur, moment dipolaire.
• Théorème de Gauss : notions de flux et de surface fermée, théorème de Gauss et applications à des cas simples.
• Forces et champs magnétiques : forces de Lorentz et de Laplace. Loi de Biot et Savart et applications à des cas simples. Lignes de champs. Relation champ magnétique et courants : théorème d’Ampère.

Dans ce module, on apprend à mettre en oeuvre les méthodes numériques pour résoudre des problèmes de mathématiques, physique, chimie et autres sciences quantitatives. La première moitié du module est dédiée à la prise en main de l'outil numérique, axé sur le langage python et le développement dans un environnement Linux. On s'attaque ensuite aux premiers outils des méthodes numériques tels que l'interpolation, le calcul d'intégrales, les nombres aléatoires et simulations Monte-Carlo ou encore les estimateurs statistiques. Chaque séance de cours est accompagnée d'une série de problèmes, portant sur des thématiques scientifiques variées, que l'on résoudra sur ordinateur pendant la séance. L'objectif affiché est d'apprendre à utiliser l'outil numérique, tout en comprenant ses limites, lorsque les méthodes analytiques ne suffisent plus.

Dans ce module, on apprend à mettre en oeuvre les méthodes numériques pour résoudre des problèmes de mathématiques, physique, chimie et autres sciences quantitatives. La première moitié du module est dédiée à la prise en main de l'outil numérique, axé sur le langage python et le développement dans un environnement Linux. On s'attaque ensuite aux premiers outils des méthodes numériques tels que l'interpolation, le calcul d'intégrales, les nombres aléatoires et simulations Monte-Carlo ou encore les estimateurs statistiques. Chaque séance de cours est accompagnée d'une série de problèmes, portant sur des thématiques scientifiques variées, que l'on résoudra sur ordinateur pendant la séance. L'objectif affiché est d'apprendre à utiliser l'outil numérique, tout en comprenant ses limites, lorsque les méthodes analytiques ne suffisent plus.

Responsable: Jérémy NEVEU

Conduite de projet en équipe Recherches bibliographiques Communication scientifique Réalisation vidéo Sensibilisation à la protection des données

Le projet est une initiation et un entraînement à la démarche de recherche scientifique qui doit conduire les étudiants à poser des questions avant de tenter d’y répondre et à rechercher des compromis comme le font habituellement les ingénieurs, chercheurs et scientifiques. Ce projet est conduit en équipe dont le travail collectif est centré sur une véritable démarche scientifique réalisée de façon concrète. Un thème générique sera proposé chaque année: "Symétries" en 2018, "Stabilité" en 2019, "La science au 19ième siècle" en 2020. L’analyse du réel de faits, de processus,…, doit permettre de dégager une problématique en relation explicite avec le thème proposé. La recherche d’explications comprend une investigation mettant en oeuvre des outils et des méthodes auxquels on fait appel généralement dans le travail de recherche scientifique: observation, éventuellement réalisation pratique d’expériences, modélisation, formulation d’hypothèses, simulations, validation ou invalidation de modèle par comparaison au réel, etc. Un suivi régulier du travail de l’équipe où la contribution de chacun des membres devra apparaître clairement sera piloté par le responsable du module. Le rendu final sera un film type « you tube » présenté lors d’un tournoi final regroupant toutes les équipes concernées par ce module.

Attendus de l'UE Langue-Anglais2 : Niveau B1 minimum dans les 5 compétences linguistiques

ANGLAIS GÉNÉRAL. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais1 : on prolongera notamment le travail sur la prononciation ainsi que l'approche actionnelle dans les 5 compétences (compréhension orale et écrite, expression écrite, expression orale en continu et en interaction) à partir de thèmes choisis tels que Science et Technologie, Médias et Réseaux sociaux. L'interaction se fait à travers des documents écrits et/ou audiovisuels centrés sur une problématique et un scénario de communication et/ou dans la cadre d'un projet tout au long du semestre. La communication interculturelle pourra être abordée dans le cadre du cours. Le travail se fera par groupes de niveau.

Descriptif du cours. — Ce cours a vocation a` vous sensibiliser aux liens entre mathe´matiques et phy- sique, par l’e´tude des syste`mes dynamiques (syste`mes en e´volution). On e´tudiera des syste`mes de´- terministes a` temps discret (suites de´finies par re´currence), des syste`mes a` temps continu (e´quations diffe´rentielles), et des mode`les d’e´volution probabilistes, en tissant des liens entre ces trois types de mode´lisation, et en utilisant l’intuition physique et des outils mathe´matiques pour e´tudier ces mode`les. Les simulations nume´riques sont un outil puissant pour aider a` la mode´lisation, et ce cours s’appuiera sur de nombreuses illustrations. Attendus. — A` l’issue de ce cours, vous serez capable d’utiliser les notions de base de syste`mes dyna- miques, tant d’un point de vue physique que mathe´matique. Vous posse`derez une culture de base sur les diffe´rents types de mode´lisation dynamique (a` temps discret ou continu, de´terministe ou probabiliste).

Ce cours propose de présenter aux étudiants un ensemble d'outils mathématiques pour la physique Le programme précis est en cours d'élaboration