M2 Automatique, Traitement du Signal et des Images

- algèbre linéaire - Optimisation - Equations différentielles - Probabilités.

L'objectif de ce cours est de permettre aux étudiants de maîtriser le socle mathématique nécessaire pour aborder des sujets de recherche académique ou industrielle, dans les domaines de l'automatique et de la commande des systèmes, du traitement du signal et du traitement des images.

Septembre - Octobre.

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1) Représentations MIMO des systèmes linéaires sous forme d'état et de transfert, valeurs singulières, norme H-infini, pôles et zéros multivariables 2) Commande Linéaire Quadratique (LQ) 3) Représentation par Transformation Linéaire Fractionnaire (LFT) des incertitudes de modèle et analyse de robustesse 4) Commande H-infini

Un exemple de commande d'un système MIMO est proposé comme fil conducteur tout au long du module, avec le code Matlab correspondant fourni à l'issue du cours.

Le but de ce cours est de fournir des bases solides pour l'analyse et la commande des systèmes linéaires multivariables (systèmes MIMO : multi-input, multi-output), en utilisant à la fois la représentation d'état et la représentation par fonction de transfert. Les principales méthodes abordées relèvent de la commande et de l'estimation optimales, de l'analyse de robustesse et de la commande H-infini. L'idée générale est de fournir tous les moyens permettant une application sur des systèmes réels (qui peuvent relever de domaines très divers tels la robotique, l'optique, l'automobile, l'aéronautique), avec une ouverture sur les problématiques de recherche.

- Représentation d'état, représentation par fonction de transfert des systèmes linéaires invariants - Notion d'échantillonnage, théorème de Shannon - Les différents types de stabilité (Lyapunov, asymptotique, EBSB…) - Etude de la stabilité d'un système b.

[1] B.D.O. Anderson, J.B. Moore, Linear Optimal Control, Ed. Prentice-Hall, 1990. [2] H. Kwakernaak, R. Sivan, Linear optimal control systems, Ed. Wiley, 1972. [3] P. de Larminat, Commande des Systèmes Linéaires, Ed. Hermès, 1993. [4] G. Duc, S. Font, Commande H-infini et mu-analyse, des outils pour la robustesse, Ed. Hermès, 1999. [5] S. Skogestad and I. Postlethwaite. Multivariable Feedback Control: Analysis and Design. Ed. John Wiley and Sons, 1996, 2005. [6] K. Zhou, J.C. Doyle, K. Glover, Robust and Optimal Control, Ed. Prentice-Hall, 1996.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

GIF-SUR-YVETTE - PALAISEAU

1) Introduction : démarche en modélisation, estimation de paramètres et d’état 2) Structures de modèles 3) Critères pour l’identification de paramètres 4) Application de méthodes d’optimisation pour l’estimation 5) Estimation récursive pour des modèles linéaires 6) Caractérisation de régions de confiance d’estimateurs 7) Planification d’expérience 8) Analyse critique de résultats.

La construction de modèles paramétriques et la détermination des valeurs des paramètres est au centre de l’activité des ingénieurs et chercheurs qui souhaitent analyser des phénomènes physiques, construire des capteurs logiciels, détecter des défauts d’un système, simuler un processus, évaluer une commande… L’objectif de ce cours est de sensibiliser les étudiants aux difficultés liées à la démarche de modélisation et d’identification paramétrique.

Ainsi, il s’agira de soulever et d’apporter des éléments de réponses aux questions suivantes : Pourquoi construire un modèle paramétrique d’un système ? Pour une structure de modèle donnée, sera-t-il possible de déterminer la valeur de ses paramètres de manière unique ? Lorsque deux structures de modèles sont concurrentes, sera-t-il possible de les distinguer ? Une fois la structure du modèle choisie, comment choisir le critère qui va permettre d’estimer les paramètres du modèle ? Comment déterminer la valeur optimale de ces paramètres ? Comment quantifier l’incertitude de détermination des valeurs des paramètres ? Comment organiser la collecte des données pour obtenir la meilleure précision sur les paramètres ?.

- Notions de base en probabilités - Algèbre linéaire - Méthodes d’optimisation sans contraintes (gradient, Newton et ses dérivées).

[1] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Processing, Volume I: Estimation Theory, Prentice Hall, 1993. [2] E. Walter and L. Pronzato, Identification of Parametric Models: From Experimental Data, Springer, 1997. [3] E. Walter, Numerical methods and optimization: a consumer guide, Springer, 2014. [4] L. Ljung and T. Glad, Modeling & Identification of Dynamic Systems, Prentice Hall, 2016.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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1) Présentation des différentes classes de problèmes d’optimisation 2) Bases théoriques - Convexité, conjuguée, sous-différentielle  - Caractérisation de minimiseurs - Dualité au sens de Fenchel-Rockafellar  - Dualité au sens de Lagrange 3) Algorithmes - Méthodes proximales  - Méthodes de points intérieurs - Méthodes stochastiques.

L’objectif de ce cours est de fournir les concepts de bases en optimisation tant du point de vue théorique que pratique. L’accent est mis sur les méthodes d’optimisation continue qui jouent un rôle tout aussi crucial en traitement du signal et des images qu’en automatique. Ces méthodes couvrent l’ensemble des domaines d’application où l’on cherche à avoir une approche quantitative basée sur des critères de performances. On mentionnera, en particulier, la résolution de problèmes inverses, l’apprentissage, l’identification de systèmes complexes, le contrôle optimal… Dans tous ces domaines, il est non seulement nécessaire de savoir employer des algorithmes d’optimisation efficaces, mais aussi de réfléchir à la structure du problème d’optimisation posé.

- Analyse fonctionnelle (dérivée, fonctions de plusieurs variables) - Notions d’algèbre linéaire - Bases de probabilité - Maîtrise d’un environnement de programmation (Matlab ou Python au choix de l’étudiant).

[1] D. P. Bertsekas, Nonlinear Programming, 3rd Edition. Athena Scientific, 2016. ISBN:978-1-886529-05-2 [2] H.H. Bauschke and P. L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, 2nd Edition. Springer, 2017. ISBN: 978-3-319-48311-5.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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1) Transformée temps-fréquence et temps-échelle à temps continu 2) Construction des bases de L2 (MDCT et ondelettes dyadiques) TP1 : décomposition en ondelette des images et application à la compression et au débruitage 3) Introduction aux trames et à la redondance. Approche synthèse VS approche analyse. Introduction du problème L0 4) Algorithmes pour la parcimonie à la synthèse et à l’analyse : (MP, OMP, seuillage itératif, ADMM) + ouverture problèmes inverses TP2 : Utilisation du seuillage itératif sur un problème inverse particulier : estimation d’un signal mesuré par des projections aléatoires 5) Introduction à la théorie du Compressive Sensing 6) Apprentissage de dictionnaire pour la parcimonie TP3 : apprentissage de dictionnaire en image (K SVD).

L’objectif de ce cours est de permettre aux étudiants de connaître différentes représentations des signaux (temporelle, fréquentielle, temps-fréquence et temps-échelle), avec leurs spécificités. Il présentera l’intérêt des bases orthonormées et des trames pour la parcimonie ainsi que les principaux algorithmes permettant d’obtenir une décomposition parcimonieuse. L’intérêt de la parcimonie sera illustré sur un problème inverse particulier, l’acquisition comprimée. Enfin une ouverture vers l’apprentissage de dictionnaire pour une classe de signaux et l’utilité dans les problèmes inverses sera proposée.

Bases du traitement du signal déterministe (Analyse de Fourier) et aléatoire (processus stationnaires, bruit blanc).

[1] Mallat, S. (1999). A wavelet tour of signal processing. Elsevier. [2] Foucart, S., & Rauhut, H. (2017). A mathematical introduction to compressive sensing. Bull. Am. Math, 54, 151-165.

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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1) Introduction Linearity and non-linearity; Behavior of nonlinear systems: limit cycles, chaotic trajectories, multiple equilibria, region of attraction. Autonomous and non-autonomous systems. 2) Stability of autonomous systems Definitions of Lyapunov stability ; Comparison Theorem ; Comparison Functions ; Lyapunov Theorem; Stability of the Linearization around an equilibrium ; LaSalle (Krasovskii) invariance principle ; Converse Lyapunov theorems. 3) Stability of non-autonomous systems Extensions for non-autonomous systems; Matrosov Theorem. 4) Systems with inputs and outputs, Interconnections Input-Output Stability; Passivity – Definitions; Passivity – Storage functions and Lyapunov characterization; KYP Lemma and interconnection of passive systems; Input-to-State Stability – Definitions; Input-to-State Stability – Lyapunov characterization; Small Gain Theorem.

The objective of this course is to provide tools for the analysis of nonlinear dynamical systems modelled by smooth ordinary differential equations. These include engineering systems, such as robotic, automotive, and aerospace systems, but also biological and socio-economical systems. A key aspect of these equations is that their nonlinear nature usually prevents the calculation of an explicit solution. Furthermore, the frequency methods commonly used for linear systems do not apply in this context.

We rely on stability theory to assess the qualitative behavior of dynamical systems. This course introduces specific stability notions and analysis tools tailored for nonlinear systems. Furthermore, beyond stability, these tools also enable to study the systems performance, robustness to disturbances, and interconnections.

- Basic Calculus - Elements of Linear Algebra - Basics for ODEs: existence and uniqueness conditions for the solution of ordinary differential equations, continuous dependence of solutions on initial conditions and continuous dependence on parameters.

[1] Nonlinear Systems, Hassan Khalil, Pearson (3rd ed) 2001. [2] Nonlinear Systems Analysis, M. Vidyasagar, SIAM Classics in Applied Mathematics (2nd edition), 2002. [3] Ordinary Differential Equations, Part II, N. Rouche and J. Mawhin (Translation from : Équations Différentielles Ordinaires Tome II: Stabilité et Solutions Périodiques. Rouche, Nicolas, and Jean Mawhin. Paris: Masson, 1973).

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

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1) Estimation pour le traitement d’images - Maximum de vraisemblance, borne de Cramer-Rao, efficacité, introduction à l’estimation robuste, introduction au principe de « longueur de description minimale » (MDL) - Applications : Estimation d’un temps de retard exponentiel en présence de différents types de bruits, Précision de localisation en radar et en traitement d’image, Localisation de molécule unique en microscopie PALM, Recalage d’images astronomiques, Segmentation d’image par contours actifs statistiques

2) Régularisation - Le problème d’estimation linéaire - Régularisation d’un problème mal posé - Introduction à l’estimation bayésienne - Applications : Filtre de Wiener pour la déconvolution d’images, Extension de la profondeur de champ d’un système d’imagerie

3) Théorie de la détection - théorie de Neyman-Pearson, rapport de vraisemblance, GLRT - Application : comment définir un contraste dans une image (initiation aux distances statistiques).

Ce cours introduit les bases de la théorie de l’estimation et de la détection. Pour en faciliter l’assimilation et en faire comprendre l’importance, on illustre chacun de ces concepts sur des problématiques réelles liées à l’imagerie optique ou au traitement d’images. Cela permet en particulier de rendre plus concrète les notions centrales de bruit et d’optimalité des traitements.
L’objectif de ce cours est qu'un étudiant soit capable de formuler un problème d’extraction de l’information dans une image bruitée en termes rigoureux de traitement du signal, d’utiliser la puissance de cette théorie pour résoudre ce problème de manière optimale, et d’évaluer les performances de la méthode qu’il a conçue.

- Bases d’analyse fonctionnelle : transformée de Fourier, convolution - Bases de probabilités et de filtrage des fonctions aléatoires.

[1] Ph. Réfrégier, Théorie du bruit et applications en physique (Hermès, Paris, 2002). [2] Ph. Réfrégier, Noise Theory and Application to Physics: From Fluctuations to Information (Springer, New-York, 2004). [3] H. L. Van Trees, Detection, Estimation and Modulation Theory. (John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968). [4] S. M. Kay, Fundamentals of statistical signal processing - Volume I : Estimation Theory (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1993). [5] S. M. Kay, Fundamentals of statistical signal processing - Volume II : Detection Theory (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1993). [6] F. Goudail

Septembre - Octobre - Novembre - Décembre.

PALAISEAU

Les séminaires ont lieu de Novembre à Janvier. Travail bibliographique et mini-projet sur temps libre entre Janvier et Mars.

Ce module a pour but d'initier les étudiants à un travail de recherche dans le domaine de l'automatique, du traitement du signal et des images à travers le dispositif suivant:

1) 8 séminaires de 3h sur des sujets de recherche actuels
2) Un travail bibliographique en lien avec un des séminaires
3) Un mini-projet en équipe.

Novembre - Décembre - Janvier - Février - Mars.

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1) Introduction et algorithmes élémentaires (kNN, bayésien naïf) 2) Arbres de décision et Boosting 3) Réseaux de neurones 4) Support Vector Machines 5) Apprentissage Non supervisé 6) "Deep Learning" 7) Examen + début projet 8) Régression et Théorie de l'Apprentissage 9) Autoencodeurs et GAN 10) Applications du "Deep Learning".

Né dans les années 50 avec l'apparition de l'informatique, l’apprentissage automatique a connu récemment un essor remarquable grâce à la disponibilité de masses de données, de grandes puissances de calcul (GPU) et d’environnements logiciels spécialisés (Deep Learning). Les techniques d’apprentissage automatique ont permis un gain de performance important sur des problèmes classiques d’interprétation de données complexes (classification d’images, reconnaissance de visages, conduite de véhicule autonome, reconnaissance de la parole, traduction, diagnostic médical, biométrie, etc.).

Janvier - Février - Mars.

PALAISEAU

1) Introduction  - Modèle de prédiction - Lien commande-optimale/commande à horizon glissant 2) Les principes du MPC dans le cadre nominal non-linéaire avec contraintes : - Optimisation en ligne faisabilité récursive - Stabilité (lien avec Lyapunov) - Invariance positive comme outil pour la stabilité 3) MPC linéaire avec contraintes : - Optimisation en ligne (QP) faisabilité récursive - Stabilité (lien avec Lyapunov) – Quadratiques par morceaux - Optimalité structure (PWA) – solutions explicites - Invariance positive (ensembles polyhedrales) - Tracking (paramétrisation par rapport à la consigne)

TD/TP 1 ---- MPC linéaire –MPT toolbox

4) Synthèse MPC : du linéaire vers non-linéaire via les modèles LPV - Structure QP et ingrédients pour la stabilité - Notions d’invariance pour les systèmes incertains 5) MPC robuste - Min-max MPC - Formulations LMI - Tubes MPC pour l’incertitude additive - Scenario-based MPC

TD/TP 2 --- MPC robuste - YALMIP

6) Application et extensions.

La commande prédictive est une méthode avancée de contrôle, basée sur des modèles et l’optimisation (commande optimale). Elle a prouvé ses performances au travers de nombreuses applications industrielles.

L’objectif de ce cours est de présenter les résultats classiques ou plus récents sur la commande prédictive qui permettront l’utilisation de cette technique comme outil en automatique. Une partie importante du cours sera destinée à l’aspect mise en œuvre, optimisation et implantation, où la prise en compte de contraintes conduit à résoudre le problème de commande par des techniques d’optimisation. Une solution alternative, basée sur la recherche de solutions explicites sera présentée. Dans la deuxième partie, le cours traitera des extensions pour couvrir les notions de robustesse de la prédiction. La prédiction en présence d‘incertitudes de modèle représente le point clé du design mais la maîtrise de la complexité de calcul reste une contrainte incontournable. Le cours vise à sensibiliser aussi à l’utilisation de modèles plus complexes, hybrides ou non linéaires.

- Optimisation convexe  - Stabilité de système dynamiques par méthodes de Lyapunov  - Modélisation (systèmes LTI, LPV, systèmes incertains).

[1] Qin, S. Joe, and Thomas A. Badgwell. "A survey of industrial model predictive control technology." Control engineering practice 11.7 (2003): 733-764. [2] Mayne, D. Q., Rawlings, J. B., Rao, C. V., & Scokaert, P. O. (2000). Constrained model predictive control: Stability and optimality. Automatica, 36(6), 789-814. [3] Bemporad, A., Morari, M., Dua, V., & Pistikopoulos, E. N. (2002). The explicit linear quadratic regulator for constrained systems. Automatica, 38(1), 3-20. [4] Mayne, D. Q., Seron, M. M., & Rakovi?, S. V. (2005). Robust model predictive control of constrained linear systems

Janvier - Février - Mars.

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1) Nonlinear control design - Motivation; stabilization and tracking ; mechanical systems, set point stabilization - Feedback linearization – necessary and sufficient conditions for feedback, zero dynamics - Passivity and backstepping, detectability - Lyapunov design, control Lyapunov functions, Jurdjevic- Quinn procedure

2) Structural properties of nonlinear control systems - Preliminaries on differential geometry : manifold, tangent space, vector fields - Accessibility, controllability, Lie algebraic rank conditions - Convexification and recurrent systems.

The objective of this course is to present methodological and theoretical tools for control of nonlinear systems. The course is organized in two parts. In the first part, several classical nonlinear control design techniques are presented and illustrated with concrete examples. In the second part, an introduction to structural properties of nonlinear systems, such as controllability and observability, is given. Also, basic notions and tools of geometric control theory are introduced.

Course "Stability of nonlinear systems" given in the 1st semester.

[1] H. Khalil, Nonlinear systems, Prentice Hall, 2002 [2] A. Isidori, Nonlinear Control Systems, Springer, 1995 [3] M. Krstic , I. Kanellakopoulos , P. V. Kokotovic, Nonlinear and Adaptive Control Design, Wiley, 1995 [4] F. Bullo, A. D. Lewis, Geometric Control of Mechanical Systems, Springer, 2005 (chapter 3) [5] E. D. Sontag, Mathematical Control Theory, Springer, New York, 1998.

Janvier - Février - Mars.

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1) Modélisation - Modélisation géométrique : modèle géométrique direct et inverse, convention de Denavit-Hartenberg, convention de Khalil-Kleinfinger. - Modélisation cinématique : modèle cinématique direct et inverse, Jacobien, singularités - Modélisation dynamique : équations d’Euler-Lagrange - Identification : mise du modèle dynamique sous forme d’un régresseur linéaire en un regroupement de paramètres, identifiabilité, prise en compte de contraintes physiques sur les paramètres

2) Commande - Planification de trajectoire : définition d’un chemin, prise en compte d’obstacles, calcul d’une trajectoire cinématiquement compatible - Commande en position : avec ou sans compensation de gravité, correcteur à base d’actions proportionnel, intégrale ou dérivées. - Commande en effort : notion d’impédance, contraintes unilatérales - Suivi de trajectoire avec ou sans contrainte holonome - Commande par platitude, par passivité, contrôle géométrique, commande adaptative ou sans sans modèle.

Ce cours a pour objectif de présenter les principaux outils pour la modélisation et la commande de robots manipulateurs industriels, à articulations rigides ou flexibles. La partie modélisation portera sur l’obtention des modèles géométriques, cinématiques et dynamiques de ce type de robots, dans les espaces articulaire et opérationnel. Elle sera complétée d’une introduction à l’identification des paramètres du modèle dynamique à partir de données expérimentales, un outil également utile pour la commande. La partie commande s’attachera en premier lieu à définir les principaux objectifs recherchés pour le contrôle de robots manipulateurs et sera basée, ou non, sur la connaissance a priori du modèle dynamique. Ainsi, elle débutera par la présentation du problème de planification de trajectoires et des principaux algorithmes afférents. Ensuite, il s’agira de présenter diverses approches de commande pour des problèmes courants comme la commande en position, le suivi de trajectoire, l’interaction du robot avec son environnement, avec un opérateur humain ou avec un autre robot. La robustesse des lois de commande à des incertitudes de modèle ou à des perturbations fera également l’objet de ce cours.

Analyse de la stabilité des systèmes dynamiques linéaires et non-linéaires.

[1] B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani and G. Oriolo, “Robotics – Modelling, planning and control”, Advanced Textbooks in Control and Signal Processing - Springer 2010. [2] R. Kelly, V. Santibanez and A. Loria, “Control of Robot Manipulators in Joint Space”, Advanced Textbooks in Control and Signal Processing - Springer 2006. [3] M.W. Spong, S. Hutchinson and M. Vidyasagar, “Robot Modelling and Control”, Wiley 2006.

Janvier - Février - Mars.

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1) Introduction: scalar case, outliers, data contamination, robust regression 2) Multivariate complex analysis and Complex Elliptically Symmetric (CES) distributions: random complex vectors, circularity, CES distributions, Cramér-Rao bound under CES distributions, application to radar clutter analysis. 3) ML and M estimation of covariance matrices: existence and uniqueness of MLE, complex Huber’s M-estimator, complex Tyler’s M-estimator, influence function and asymptotics 4) Spectral analysis/DOA estimation: subspace estimation and robust subspace estimation, performance. 5) Non-gaussian detection for radar: doppler detection and space time adaptive processing. 6) Lab session: robust radar signal processing.

Nowadays, data are at the heart of many domains and their processing (e.g. for knowledge extraction, decision-making…) can be a very challenging problem, especially because data can be badly modeled, or at least, far from classical modeling. They can also contain outliers or part of the data can miss. To face such problems, the goals of this course is to provide to students advanced and recent techniques of robust statistics with several applications to classical problems in signal processing. More precisely, after a general introduction on monovariate robust estimation theory, we will move to the complex multivariate case adapted to signal processing applications. This course will mix the theoretical tools, such as robust estimation techniques, robust regressions and robust detection, as well as more signal processing focused applications: DOA estimation, signal filtering, signal detection, denoising….

Students should have basic knowledge in probabilities and statistics, as well as on basics of signal processing. They also should know one of the following software : Matlab, Python or R.

[1] Huber PJ (1981) Robust statistics. Wiley, New York.

Janvier - Février - Mars.

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Partie IRM : 1) MRI acquisition - From an NMR signal to an MR image - basic MR pulse sequences, usual contrast-weighted imaging - standard encoding/sampling schemes in k-space - Sources of artifacts 2) MRI reconstruction: - Cartesian imaging: inverse Fourier reconstruction - Gridding technique - Inverse problem solving - Deep learning 3) Applications - High resolution anatomical imaging - Diffusion-weighted imaging for Stroke, brain tumors, etc - Dynamic imaging

Partie Médecine Nucléaire : 1) PET & SPECT acquisition: - phénomènes physiques de la désintégration et de la détection - détecteurs - quantification - lien entre acquisition et transformée rayons-X 2) PET & SPECT reconstruction: - reconstruction analytique versus reconstruction itérative - modèle d’acquisition - Présentation des opérateur de projection et rétroprojection de la transformée de Radon - fonctions coût - algorithmes d’optimisation - régularisation.

Le but de ce cours est de développer les compétences pratiques et théoriques d’estimation et de résolution de problèmes inverses au travers de l’imagerie médicale. Les cours se focaliseront sur les principales modalités d’imagerie médicale, qui sont l’IRM et la médecine nucléaire comme l’imagerie SPECT et PET. Cet enseignement sera divisé en deux parties, la première sur l’imagerie issue d’appareils IRM et la seconde sur l’imagerie nucléaire. De plus, comme les reconstructions dans ce domaine nécessitent des ressources de calculs très importantes, une séance de travaux pratiques sera dédiée à la parallélisations d’algorithmes sur machine massivement parallèle (GPU).

UEs Estimation et Optimisation.

Janvier - Février - Mars.

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1) Acquisition - échantillonnage 2D, convolution, bruit, débruitage, déconvolution 2) Radiomètrie - histogrammes, changements de contraste, quantification, espaces couleur 3) Application en photographie computationnelle - images HDR - inpainting - édition d'images 4) Classification bayésienne, champs de Markov - Optimisation dans le cadre markovien, graph cut - Application au débruitage et à la restauration d’image 5) Segmentation d’images - détection de contours : gradient d’une image, opérateur de Prewitt et de Sobel, critères optimaux de Canny, filtre récursif de Deriche, passages par zéro du Laplacien - segmentation par régions, croissance de régions, partage et réunion, fonctionnelle de Mumford et Shah 6) Reconnaissance des formes - descripteurs de forme et de contours, transformation de Hough, recalage d’images, points caractéristiques, transformations d’images, approche robuste RANSAC

TP : - échantillonnage, radiométrie, restauration - classification bayésienne, champs de Markov - segmentation.

L'objectif de ce cours est d'une part de présenter des modèles basiques de traitement d'images (échantillonnage, détection de contours) et d'autre part de donner un aperçu des grandes problématiques du domaine (restauration, débruitage, segmentation) et des méthodes usuelles (morphologie mathématique, filtrage, champs de Markov).

- Notions de base de traitement du signal - Bases d’analyse fonctionnelle : transformée de Fourier, convolution - Bases de probabilités et de filtrage.

[1] H. Maître, Le traitement des images (Hermès,2002). [2] C. Aguerrebere et al., Simultaneous HDR reconstruction and denoising of dynamic scenes, ICCP 2013.

Janvier - Février - Mars.

PALAISEAU

1) Notion de problème inverse mal posé - Modèle direct, bruit et erreurs de modélisation - Problème mal posé au sens de Hadamard (rappel) - Régularisation - Inférence : estimateurs du maximum de vraisemblance, du maximum a posteriori, de l’espérance a posteriori

2) Approche variationnelle - Définition d’une fonction de coût (critère régularisé) - Algorithmes d’optimisation pour les problèmes inverses - Estimation des hyperparamètres

3) Approche bayésienne - Echantillonnage stochastique : algorithmes MCMC, échantillonnage d’importance, acceptation-rejet - Modèles bayésiens hiérarchiques - Approche bayésienne variationnelle

4) Cas d’études (en liens avec les TP) - Problèmes générique de restauration (déconvolution) de signaux et d’images - Problème de reconstruction d’images, par exemple en tomographie à rayons X - Inversion de modèles non linéaires : reconstruction de phase ou factorisation en matrice non-négative pour le démélange d’images hyperspectrales.

Un grand nombre de problèmes d’analyse de données peuvent être abordés sous l'angle de l'inversion, au sens où les observations sont partiellement informatives sur la quantité à estimer et l’estimation repose aussi sur la prise en compte de modèles physiques. Dans diverses applications comme l’astrophysique, l’ingénierie biomédicale, la surveillance industrielle ou la télédétection, l’utilisation directe des mesures n’est pas toujours satisfaisante. Les méthodes d’inversion permettent de prendre en compte les distorsions introduites par les appareils de mesure pour reconstruire la grandeur d’intérêt. Ce cours aborde les problèmes inverses mal posés, pour lesquels les données observées sont insuffisantes pour reconstruire de façon fiable l’objet d’intérêt. Les techniques de régularisation sont alors nécessaires pour résoudre ces problèmes inverses difficiles. Nous introduisons deux grandes familles de méthodes. D’un côté l’approche variationnelle, qui repose sur la construction et l’optimisation d’une fonction de coût régularisée et de l’autre l’approche bayésienne, basée sur la modélisation probabiliste de l’objet à reconstruire et des erreurs de modèle.

Connaissance des algorithmes classiques d’optimisation numérique et de notions de base en probabilités et sur les processus aléatoires.

[1] J. Idier. « Approche bayésienne pour les problèmes inverses , Traité IC2, Série traitement du signal et de l'image, Hermès, Paris, nov. 2001. [2] J. F. Giovannelli et J. Idier, « Méthodes d'inversion appliquées au traitement du signal et de l'image », Hermès, Paris, nov. 2013. [3] J. Nocedal et S. J. Wright, « Numerical optimization », Springer texts in Operations Research and Financial Engineering, 2ème édition, Springer Verlag, New York, juil. 2006. [4] C. P. Robert, « Le choix bayésien », Coll. Statistique et probabilités appliquées, Springer, Paris, 2006. [5] V. Smidl et A. Quinn, «

Janvier - Février - Mars.

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1) Systèmes à commutation - Formalisme des systèmes commutés - Stabilité pour commutation arbitraire - Restriction des commutations - Stabilisation par commutation

2) Systèmes affines par morceaux - Formalisme des systèmes PWA - Solutions à la Filippov (phénomène du sliding mode) - Ensembles invariants (image, pré-image) - Fonctions de Lyapunov par morceaux

3) Automates hybrides - Formalisme des automates hybrides - Conditions de well-posedness - Notion de broutement (chattering), effet Zeno - Synthèse de contrôleurs évènementiels - Supervision, synthèse des gardes

4) Applications - Automobile et véhicule autonome - Systèmes commutés (XBS) - Sys. affines par morceaux (suspension semi-active ou freinage d’urgence) - Automate hybrides (ABS).

Les dynamiques hybrides, c’est-à-dire combinant dynamiques évènementielles et classiques (continues ou discrètes), sont communes à de nombreux systèmes physiques comme par exemple les systèmes de transport, les chaînes de production, les réacteurs biochimiques, les neurones, etc. Elles donnent également lieu à de nombreuses applications de commande : commande supervisée, gain scheduling, effets de quantification ou d'échantillonnage, systèmes commandés par réseaux, modes dégradés, etc. Le but de ce cours est de présenter les concepts de base nécessaires à l'analyse et la commande de systèmes hybrides. Il se concentre pour cela sur trois formalismes : les systèmes à commutation, les systèmes affines par morceaux et les automates hybrides. Chaque concept abordé sera illustré par un exemple applicatif issu de l'industrie automobile.

Automatique LTI, algèbre linéaire de base, analyse de base, cours de stabilité du premier semestre.

[1] Liberzon, D., (2003). Switching in systems and control. Springer Science & Business Media. [2] Lygeros, J., Johansson, K. H., Simic, S. N., Zhang, J., & Sastry, S. S. (2003). Dynamical properties of hybrid automata. IEEE Transactions on automatic control, 48(1), 2-17. [3] Tomlin, C. J., Lygeros, J., & Sastry, S. S. (2000). A game theoretic approach to controller design for hybrid systems. Proceedings of the IEEE, 88(7), 949-970.

Janvier - Février - Mars.

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1) Motivations and definitions - Based on real-world applications, starting with low dimension - Complex systems seen as an interconnection of simpler subsystems - Two crucial features: agents dynamics and interconnection - Definition of consensus and synchronization concepts

2) Graphs - Definitions: graph, vertices, edges, adjacency matrix - Linear consensus, symmetric and asymmetric - Notion of Laplacian, role of Laplacian eigenvalues, connectivity, spanning tree

3) Consensus - Variants on the interconnection and agents dynamics - Other practical constraints - Discrete time consensus: differences and similarities with continuous time

4) Synchronization  - Difference with respect to consensus: steady-state regime independent of initial state, steady-state not necessarily static (limit cycle) - Different types of synchronization - Oscillators synchronization

5) Case study - Robot swarms - Drones - Sensor networks - Distributed estimation.

Animal swarms, electric grids, autonomous vehicle formations, interconnected neurons, sensor networks… all these systems share a crucial feature: their overall behavior results from a local interaction among many agents. Here, “local” means that each agent typically interacts with its neighbors only.
This course aims at providing the basics to both analyze and control of such large-scale networks. In particular, it provides methodological tools to study interconnection between multiple dynamical agents. It addresses two fundamental features of such networks: consensus, in which the states of all agents converge to a common value, and synchronization, in which agents share a coherent behavior (possibly non static). These notions will be illustrated via a selection of case studies.

- Stability analysis through Lyapunov Methods - Linear systems.

[1] W. Ren, Y. Cao. Distributed Coordination of Multi-agent Networks: Emergent Problems, Models, and Issues. Communications and Control Engineering, Springer-Verlag, London, 2011 [2] W. Ren, R.W. Beard, and E. M. Atkins. Information Consensus in Multivehicle Cooperative Control, IEEE Control Systems Magazine, Vol. 27, No. 2, April, 2007, pp. 71-82 [3] Henk, N. and Alejandro, R. A.. Synchronization of mechanical systems (Vol. 46), World Scientific, 2003 [4] S.S Kia, B.VanScoy, J.Cortes, R.A. Freeman, K.M. Lynch, and S.Martinez. Tutorial on Dynamic Average Consensus The problem, its applications

Janvier - Février - Mars.

GIF-SUR-YVETTE

Le but du stage est de permettre aux étudiants de se confronter à des sujets de recherche académique ou industrielle de haut niveau scientifique, dans les domaines de l'automatique et de la commande des systèmes, du traitement du signal et du traitement des images.

Avril - Mai - Juin - Juillet.